МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2004/2005 учебный годЛекция 1 (110) 2.10.2004. Александр Васильевич СПИВАК, автор ряда статей журнала «Квант», соросовский учитель школ Периодические цепные дроби и квадратичные иррациональностиЦепные дроби позволяют довольно естественным и единообразным способом записать любое вещественное число. Рациональные числа записываются в виде конечных цепных дробей. Любая периодическая цепная дробь, как легко доказать, является квадратичной иррациональностью. Золотое сечение (отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны) записывается в виде [1;1,1,1,1,1,...]. Корень из В следующей таблице даны цепные дроби для квадратных корней из
Лекция 2 (111) 9.10.2004. Александр Ханевич ШЕНЬ, старший научный сотрудник Института проблем передачи Экспонента и логарифмВообразите, что мы держим в руке камень и вдруг отпускаем его. Камень падает, скорость его возрастает. Как она возрастает: пропорционально пройденному расстоянию, пропорционально времени или по какому-то иному закону? Оказывается, что скорость не может быть пропорциональна пройденному расстоянию ни при каких условиях эксперимента (если только камень не останется висеть неподвижно). Идея проста: половину пути с вдвое меньшей скоростью тело преодолевает за такое же время, как весь путь; таким образом, на любой начальный участок пути камень должен потратить бесконечное время. Далее был объяснён геометрический смысл задачи: построение графика функции, наклон которого пропорционален ординате соответствующей точки. Время движения проинтерпретировано как площадь под гиперболой. Замечательно, что эта площадь зависит только от Обратная к логарифму функция — это и есть экспонента. Число, логарифм которого Лекция 3 (112) 16.10.2004. Сергей Валерьевич МАРКЕЛОВ, учитель школы № 57. Нерешённые проблемы геометрииВо время Великой Отечественной войны
Лекция 4 (113) 30.10.2004. Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ, профессор кафедры общих проблем управления мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах». Геометрические задачи И.Ф. ШарыгинаИгорь Фёдорович Шарыгин (1937–2004) был выдающимся геометром, автором многих задачников и по математике. Он был замечательным геометрическим композитором, творцом новых геометрических задач. На лекции будут обсуждены некоторые геометрические шедевры Шарыгина. Приведём некоторые из них.
При решении задач будут обсуждены, наряду с геометрическими, и алгебраические подходы. Было рассказано о педагогических идеях И.Ф. Шарыгина, о его борьбе за математическое образование, о его воззрениях на геометрию. Лекция 5 (114) 6.11.2004. Сергей Александрович ШАРОВ, архитектор-реставратор. Надвратный храм Иоакима и Анны во Владимире
|
13 | 15 | 5 | 16 | 20 |
7 | 10 | 9 | 14 | 23 |
19 | 11 | 2 | 21 | 22 |
1 | 8 | 4 | 17 | 3 |
∞ | 24 | 18 | 6 | 12 |
Постарайтесь угадать, чем эта таблица замечательна. На лекции было рассказано о «случайных» и «неслучайных» свойствах этого заполнения квадрата 5×5 числами и символом бесконечности.
Эти вопросы находятся на границе алгебры, теории чисел, теории динамических систем, теории вероятностей,… Значительная часть фактов, которые были упомянуты, —
Лекция 7 (116) 20.11.2004.
Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ,
доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ.
В 1755 году в Европе произошло сильное землетрясение, которое почти полностью разрушило Лиссабон и привело к гибели десятков тысяч людей и многих памятников архитектуры. Эта трагедия породила различные религиозные и философские искания. В научном плане оригинальные и взаимодополняющие ответы дали два самобытных гения: М.В. Ломоносов в России и И. Кант в Германии. Ломоносов в «Слове о рождении металлов от трясения Земли» (1757 год) впервые привёл исчерпывающую характеристику четырёх основных типов колебаний земной поверхности при землетрясениях, высказал ряд правильных гипотез о причинах землетрясений, их роли в образовании различных минералов, кратко описал акустические, гидрологические и световые предвестники землетрясений.
Во второй половине ХХ века инструментально были обнаружены геохимические, сейсмические и электромагнитные предвестники, однако за это время от землетрясений погибло более миллиона человек!
Ибо практически важная и теоретически интересная
обратная геофизическая
Будет рассказано о сейсмоэлектромагнитных
Кратко суть лекции можно свести к трём вопросам:
Часть ответов на эти малосвязанные на первый взгляд вопросы, может быть, найдут сегодняшние школьники.
Лекция может быть полезна не только школьникам, но и студентам младших курсов механико-математического, физического факультетов МГУ, а также студентам отделения геофизики геологического факультета.
Литература
Лекция 8 (117) 27.11.2004.
Владимир Юрьевич ПРОТАСОВ,
кандидат физико-математических наук, преподаватель механико-математического факультета МГУ, автор олимпиадных задач и брошюр по геометрии.
В 1822 году французский математик и механик Жан
Виктор Понселе опубликовал «Трактат о проективных свойствах фигур»,
где среди многих других новых геометрических фактов сформулировал
теорему о замкнутых ломаных, вписанных в одну окружность и описанных
около другой. С этого началась история одной из красивейших теорем
Лекция 9 (118) 4.12.2004.
Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,
сотрудник кафедры математической статистики и случайных процессов мехмата МГУ, доктор физико-математических наук, автор брошюры «Хроматические числа» и обзора «Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств» (Успехи математических наук, том 56, номер 1, страницы 107-146).
Аналогичной задачей о разрезании тел (шаров,
многогранников и тому подобного) на дольки меньшего диаметра
естественно заниматься и в пространстве. Более того, можно
рассматривать её в пространстве произвольной размерности.
Впервые её в общем виде сформулировал Борсук, который
поставил знаменитый вопрос: «Верно ли, что всякое ограниченное
В лекции предполагается рассказать об интригующей истории задачи, а также привести ряд интересных и важных вопросов, многие из которых пока остаются открытыми.
Лекция 10 (119) 11.12.2004.
Алексей Брониславович СОСИНСКИЙ,
профессор Независимого Московского Университета, директор франко-русской математической лаборатории, автор многих статей журнала «Квант», брошюр «Мыльные плёнки и случайные блуждания», «Узлы и косы» и (в соавторстве с В.В. Прасоловым) монографии «Узлы, косы и трёхмерные многообразия».
Известные всем из повседневной жизни понятия узла и косы вдохновили учёных на создание математической теории узлов и кос. На лекции будет рассказано о некоторых элементарных геометрических и арифметических аспектах этой теории. Оказывается, узлы и косы можно не только запутывать и распутывать, но и складывать и умножать. Лекция будет сопровождена компьютерным мультфильмом на большом экране. Этот фильм, созданный Михаилом Юрьевичем Пановым, наглядно показывает, как выглядят соответствующие операции.
В апреле 2005 года тема будет продолжена лекцией «Инварианты узлов», которая тоже будет сопровождена мультфильмом М.Ю. Панова.
Лекция 11 (120) 12.02.2005.
Александр Ханевич ШЕНЬ,
кандидат
Некоторые факты настолько само собою разумеются, что их в школе доказывать не принято. Один из них — однозначность разложения целых чисел на простые множители. Другой, также обычно не доказываемый факт — бесконечность множества простых чисел. В лекции будут рассказаны разные (известные и не очень) доказательства этих утверждений.
Лекция 12 (121) 19.02.2005.
Максим Анатольевич ВОЛЧКЕВИЧ,
учитель школы лицея № 2 и гимназии № 1543, автор ряда задач «Задачника „Кванта”» и московской олимпиады.
Как, взглянув на равносторонний треугольник, доказать, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке?
Почему нельзя при помощи одной только линейки опустить перпендикуляр на данную прямую?
Как параллельная проекция помогает при решении стереометрических задач?
Теорема Дезарга и её следствия. Как соединить две удалённые точки при помощи короткой линейки?
Произвольный выпуклый четырёхугольник можно получить параллельной проекцией из некоторого четырёхугольника, два угла которого прямые. При помощи этого наблюдения нетрудно доказать теорему о прямой Гаусса и другие интересные факты.
Эллипс — параллельная проекция круга. Как выразить площадь эллипса через длины его полуосей? Что является тенью шара? Какова форма месяца (Луны на звёздном небе). Что можно сказать об основании наклонной призмы, если в неё можно вписать шар?
Для любого чётноугольника, описанного около эллипса, сумма величин углов, под которыми из центра эллипса видны стороны, взятые через одну, равна 180 градусам.
При помощи параллельной проекции будут доказаны теоремы Ньютона и Брианшона.
Разумеется, изложить и тем более доказать столько теорем на одной лекции невозможно. Именно поэтому лектор расскажет лишь начальную часть, а продолжит 19 марта.
Лекция 13 (122) 26.02.2005.
Григорий Вячеславович КОНДАКОВ,
кандидат физико-математических наук, заместитель директора Дворца научно-технического творчества молодёжи.
Если натуральный ряд каким угодно способом разбит на несколько подмножеств, то хотя бы в одном из этих подмножеств есть сколь угодно длинная арифметическая прогрессия. Эта теорема была доказана в 1928 году голландцем Ван дер Варденом. Доказательство можно найти в книге А.Я. Хинчина «Три жемчужины теории чисел».
Лекция 14 (123) 5.03.2005.
Александр Николаевич КАРПОВ,
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры общей топологии механико-математического факультета МГУ, заместитель директора Малого мехмата, учитель лицея № 2 и школы № 17.
Разбив каждый угол треугольника на три равные части и рассмотрев, как показано на рисунке, их точки пересечения, мы получим равносторонний треугольник. Это доказал в 1904 году Франк Морлей. Доказательство можно найти в книге Г.С.М. Коксетера и С.Л. Грейтцера «Новые встречи с геометрией».
Лекция 15 (124) 12.03.2005.
Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,
профессор кафедры ОПУ мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».
Теорема Коши о промежуточном значении непрерывной функции, теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной фукнции на отрезке (и вообще на любом ограниченном замкнутом множестве), теорема Брауэра о неподвижной точке непрерывного отображения отрезка (круга, шара) в себя, метод Ньютона решения уравнений, основная теорема алгебры (гласящая, что любой многочлен, отличный от константы, имеет хотя бы один комплексный корень), существование неалгебраических чисел, несчётность континуума.
Лекция 16 (125) 19.03.2005.
Максим Анатольевич ВОЛЧКЕВИЧ,
учитель школы лицея № 2 и гимназии № 1543, автор ряда задач «Задачника „Кванта”», московской и соросовской олимпиад.
Это продолжение лекции, прочитанной 19 февраля 2005 года.
Лекция 17 (126) 26.03.2005.
Светлана Анатольевна БУРЛАК,
кандидат филологических наук, старший научный сотрудник Института востоковедения РАН, член оргкомитета Московской олимпиады по лингвистике и математике, автор многих олимпиадных задач по лингвистике.
Будет рассказано о том, чем занимается современная лингвистика, о проблемах и методах исследования, о роли математики и математиков в развитии отечественной лингвистики. Основная часть лекции будет посвящена лингвистическим задачам и лингвистической олимпиаде.
Что такое лингвистическая задача, чем она похожа на математическую и чем отличается от неё? Какие бывают задачи? Какие языковые явления они затрагивают? Обязательно ли знать китайский язык, чтобы решить задачу, начинающуюся с «Даны следующие китайские существительные...»? Как решать лингвистические задачи? Чем помогает при этом математика (метод установления корреляций, матричный метод и другие)? Что такое паразитическое решение и как с ним бороться? Как составить лингвистическую задачу, чтобы она имела единственное решение?
Лекция 18 (127) 2.04.2005.
Виктор Александрович МАТЮХИН,
младший научный сотрудник ВМК МГУ, учитель информатики гимназии 1543, председатель методической комисии московской олимпиады по информатике, председатель научного комитета и член жюри Всероссийской олимпиады школьников по информатике, тренер сборной России к международной олимпиаде школьников по информатике.
В этот день лекцию для школьников хотел прочитать и Алексей Фёдорович ФИЛИППОВ, профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ. Из-за его болезни его лекция не состоялась. Тем не менее, читатель сайта может ознакомиться с темой, аннотацией и даже полным текстом лекции А.Ф. Филиппова. (Доступна и Word-версия.) Тема несостоявшейся лекции: Как сложились научные представления об окружающем мире?
Лекция 9.04.2005.
Алексей Андреевич Панов,
кандидат физико-математических наук, преподаватель Московского университета геодезии и картографии (бывший МИИГАиК).
Радуга — это гигантский оптический эксперимент, который демонстрирует нам природа всякий раз, как только удалённая от нас стена дождя освещена низко стоящим Солнцем.
Первая последовательная теория радуги была построена Декартом. Используя только что открытый закон преломления и проведя многочисленные расчёты, Декарт выяснил, как образуется радуга (Discours de la méthode, 1637 год).
В 1802 году Томас Юнг открыл явление интерференции света и тем самым подтвердил волновую природу света. Волновая теория позволила по-новому взглянуть на механизм образования радуги и дополнить декартову теорию радуги недостающими деталями.
Лекция 20 (129) 16.04.2005.
Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ,
сотрудник кафедры математической статистики и случайных процессов мехмата МГУ, доктор физико-математических наук, автор брошюры «Хроматические числа» и обзора «Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств» (Успехи математических наук, том 56, номер 1, страницы 107-146).
В 1962 году Людвиг Данцер и Бранко Грюнбаум предложили выяснить, насколько много точек может содержать такое множество точек в евклидовом пространстве Rn, что все треугольники с вершинами в этом множестве остроугольные. Несложно придумать такое множество из
Лекция 21 (130) 23.04.2005.
Дмитрий Евгеньевич КОСОВ,
студент 2 курса мехмата МГУ, соавтор статей «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» и «Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра».
Красота проективной геометрии будет показана на примере классических теорем
Лекция 22 (131) 30.04.2005.
Евгений Владимирович АДИЩЕВ,
преподаватель МММФ.
В школе изучаются «обычные» уравнения, в которых нужно найти некоторое число. В математике встречаются и уравнения, где неизвестной является функция. Такие уравнения называются функциональными. На лекции на примере двух (похожих по виду, но различающихся по сложности) уравнений
были рассмотрены методы решения функциональных уравнений.
Слушатели познакомились также с понятиями орбиты, цикла и сопряжения.
Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! |
|
|
|