МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ | ||||||
2003/2004 учебный годЛекция 1 (87). 4.10.2003. Александр Васильевич СПИВАК, автор ряда статей журнала «Квант», соросовский учитель школ
Длины биссектрис треугольникаЛегко построить треугольник по длинам трёх его
медиан. Необходимым и достаточным условием существования
треугольника с заданными длинами Чуть сложнее построить треугольник по длинам его высот. Необходимым и достаточным условием существования такого треугольника являются неравенства треугольника на Задача о восстановлении треугольника по длинам его биссектрис намного труднее и интереснее. Решена она была совсем недавно. (На русском языке это впервые опубликовано в первом номере «Кванта» за 2003 год.) Оказывается, никаких ограничений на длины биссектрис нет! Более того, для любых трёх отрезков существует и единственен треугольник именно с такими длинами биссектрис. Лекция 2 (88) 11.10.2003. Семеон Антонович БОГАТЫЙ, доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ. Теорема Эрдёша-Морделла-БарроуВ 1935 году Пауль Эрдёш высказал гипотезу, которую доказали в 1937 году независимо Морделл и Барроу: для всякой
Барроу доказал и более сильный результат: для
любого треугольника ABC и для любой взятой внутри него
К настоящему времени известно много доказательств гипотезы Эрдёша и её обобщений. Например, можно суммировать не длины биссектрис, а длины проведённых из точки M медиан. Можно
складывать и длины отрезков чевиан, то есть длины отрезков
A'M, B'M Есть и аналогичные стереометрические задачи.
Например, для любого тетраэдра и точки, расположенной внутри него,
сумма расстояний от этой точки до граней тетраэдра не менее чем в
Многие теоремы будут даны без доказательства. Будет сформулировано много нерешённых задач. Лекция 3 (89) 18.10.2003. Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ, преподаватель Независимого московского университета, главный редактор издательства НМУ, автор или соавтор многих книг по математике («Наглядная топология», «Рассказы о числах, многочленах и фигурах», «Геометрические задачи древнего мира», «Задачи и теоремы линейной алгебры», «Задачи по планиметрии» и «Задачи по стереометрии»). Задачи московских математических олимпиадНа лекции будут разобраны шесть задач первых московских городских олимпиад:
Будут разобраны и некоторые другие задачи более поздних олимпиад. Лекция 4 (90) 25.10.2003. Сергей Иванович ТОКАРЕВ, старший преподаватель Ивановского государственного энергетического университета, составитель книги «Турниры имени А.П. Савина», ведущий отдела задач журнала «Математика в школе», член жюри Всероссийской математической олимпиады. Задачи журнала «Математика в школе»Журнал «Математика в школе» учреждён Народным
комиссариатом просвещения РСФСР в 1934 году. С момента основания в
журнале есть Отдел задач. Проводится ежегодный конкурс
«решальщиков», причём в каждом номере журнала подводятся
промежуточные итоги. Задачи решают учителя, школьники (в том числе
шестиклассники), вузовские преподаватели (в том числе профессора).
На лекции будут разобраны 10 опубликованных в последние годы задач:
Трудные задачи. 1. С парой натуральных чисел (m;n)
можно проделывать следующее: заменить её на пару
2. Докажите, что для любого треугольника его вписанная окружности, окружность девяти точек (то есть окружность, проходящая через середины сторон) и окружность, проходящая через основания биссектрис внутренних углов этого треугольника, имеют общую точку. «Средние» задачи. 3. У одного из семи воров, выстроенных в ряд, находится украденная монета. Сыщик может обыскать любого вора, но когда один обыск окончен, а другой (пока составляют протокол) ещё не начат, вор, у которого есть монета, незаметно передаёт её одному из своих соседей. Найдите минимальное число обысков, при помощи которых сыщик наверняка может обнаружить монету. 4. Верно ли, что среди миллиарда последовательных натуральных чисел существует число, делящееся на сумму своих цифр? 5. 10000 солдат — ефрейторы и рядовые — выстроены в каре 100×100 так, что у каждого из них ровно один сосед (справа, слева, спереди или сзади) — ефрейтор. Сколько ефрейторов в строю? Лёгкие задачи. 6. Длинную бумажную ленту ширины 1 перегнули под углом к её краю. В результате образовался «двуслойный» треугольник. Найдите его наименьшую возможную площадь. 7. Бикфордов шнур горит неравномерно, а сгорает
ровно за 8. К сумме двух натуральных чисел прибавили их наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Могла ли сумма оказаться равна 123456789? 9. Нарисован выпуклый четырёхугольник, никакие две стороны которого непараллельны, и провели биссектрисы трёх его внутренних углов. При помощи одной линейки постройте биссектрису четвёртого внутреннего угла этого четырёхугольника. 10. Дни рождения большинства Петиных одноклассников
в 1999 году приходились на четверги, а в 2000 Лекция 5 (91) 1.11.2003. Николай Николаевич АНДРЕЕВ, научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова. Задачи журнала «Математика в школе»Экстремальные задачи — задачи о нахождении
наилучшего с той или иной точки зрения Пусть имеется много одинаковых монет. Положите одну
на стол. Как много монет можно положить на стол, чтобы каждая
касалась первой монеты? Вы можете решить эту задачу, попробуйте!
Помните, что как и любая экстремальная задача, она состоит из двух
В пространстве задача о «контактном числе шаров» оказалась намного сложнее и была решена лишь более чем через 200 лет после знаменитого диспута И. Ньютона и шотландского ученого Д. Грегори. Решение этой задачи в многомерном пространстве используют при передачи информации на расстояния, в том числе и в компьютерных модемах. Все вы играли с магнитиками и видели, что одноимённые полюса магнитов отталкиваются друг от друга. Точно так же одинаково заряженные частицы отталкиваются друг от друга. В связи с исследованиями строения атома на рубеже XIX и XX веков английский естествоиспытатель Дж.Дж. Томсон поставил следующую задачу. Поместим N одинаковых зарядов (электронов) на сферу. К каким расположениям будут стремиться заряды, пытаясь минимизировать потенциальную энергию системы? Решение этой задачи известно лишь в нескольких частных случаях, о которых и будет рассказано на лекции. Рассказ об этих и других задачах наилучшего расположения точек на сфере будет основан на научно-популярных фильмах, использующих 3D-графику и будет понятен всем пришедшим. Лекция 6 (92) 15.11.2003. Сергей Георгиевич СМИРНОВ, ведущий научный сотрудник Российской академии образования, кандидат физико-математических наук. Чудеса четырёхмерного пространстваЧетырёхмерное пространство невозможно охватить
единым взором наших трёхмерных глаз. Но можно изучать различные
фигуры, вмещённые этим пространством: двумерные и трёхмерные
плоскости, правильные многогранники, одномерные или двумерные узлы,
следы волновых фронтов и особые некоммутативные Предполагается, что слушатели знакомы с правильными трёхмерными многогранниками и скрещивающимися прямыми. Лекция 7(93) 22.11.2003. Юрий Валентинович НЕСТЕРЕНКО, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой теории чисел мехмата МГУ, профессор. О простых числахНекоторые натуральные числа можно разложить на меньшие сомножители. Например, 11 111 111 111 111 111 = 2071723 · 5363222357. Такие числа называют составными. Числа 2071723 и 5363222357 простые: они на меньшие множители не раскладываются. Среди простых чисел попадаются любопытные экземпляры, например, 2003; 200311...112003, где единиц 547 штук; 11...11200311..11, где в каждой из групп единиц их 114 штук. Евклид доказал, что множество простых чисел
бесконечно. Исследования свойств простых чисел составляют один из
самых древних и увлекательных разделов теории чисел. Вы узнаете о
совершенных числах, о простых числах Мерсенна и Ферма; как можно
доказать простоту числа; сколько простых чисел имеется на отрезке
Лекция 8(94) 29.11.2003. Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ, доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ; Любовь Михайловна ЛУЖИНА, научный сотрудник НИИ механики МГУ; Вера Арсентьевна НАЛЕТОВА, доцент кафедры гидродинамики мехмата МГУ. М.В.Ломоносов и загадки атмосферного электричества (мнимые парадоксы шаровой молнии и другие неординарные явления электромагнетизма)Ломоносов в знаменитом «Слове о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих» (24 ноября 1753 года) В лекции приводится краткий обзор современного состояния и успехов в изучении атмосферного электричества. Основное внимание уделено вопросам математического моделирования так называемых обратных задач, когда о сути природного явления приходится судить по неполным и часто противоречивым данным натурных наблюдений. Примером подобной задачи является проблема строения шаровой молнии, которую по праву можно отнести к одному из самых парадоксальных и до сих пор загадочных явлений атмосферного электричества. На основе электрокапиллярновихревой модели шаровой молнии объясняются мнимые парадоксы этого феномена природы и приводятся аналоги родственных явлений. Заинтересованный слушатель может обратиться к
следующей литературе: Лекция 9 (95) 6.12.2003. Владимир Игоревич АРНОЛЬД, академик РАН. Топология алгебры и теории чиселПочему ab = ba, можно понять, вычисляя площадь прямоугольника двумя способами. Топология объясняет много разных фактов алгебры и теории чисел. Вот пять примеров.
Лекция 10 (96) 13.12.2003. Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ, старший научный сотрудник ЦЭМИ РАН, учитель гимназии 1543, автор книги «Геометрические преобразования» и ряда статей журнала «Квант». Тетраэдр ЖергоннаСоединив каждую вершину треугольника с точкой касания противоположной стороны со вписанной окружностью, получаем три отрезка, пересекающиеся (как легко установить при помощи теоремы Чевы) в одной Далее, все четыре отрезка, соединяющие вершина тетраэдра с соответвующими точками касания противоположных граней с вписанной сферой, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
Лекция 11 (97) 20.12.2003. Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН, учитель физики лицея Что мы видим, когда смотрим? Лекция 12 (98) 27.12.2003. Александр Васильевич СПИВАК, автор ряда статей журнала «Квант», соросовский учитель школ
Числа БернуллиШвейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705)
изучал свойства последовательности чисел, возникающей при суммировании степеней последовательных натуральных чисел. А именно, для любого натурального k Лекция 13 (99) 14.02.2004. Николай Николаевич АНДРЕЕВ, научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова РАН. Удивительные многогранникиМир многогранников интересен и занимателен. Будет рассказано о некоторых удивительных свойствах многогранников, на первый взгляд противоречащих интуиции. Если из одинаковых наборов граней можно сложить выпуклый и невыпуклый многогранники, может ли объём невыпуклого быть больше объёма выпуклого? Один тетраэдр лежит внутри другого. Может ли сумма длин рёбер внутреннего тетраэдра быть больше суммы длин рёбер объемлющего? В обоих Лекция 14 (100) 21.02.2004. Владимир Юрьевич ПРОТАСОВ, преподаватель мехмата МГУ и Независимого Московского университета, кандидат физико-математических наук. Геометрические задачи на максимум и минимумБудут рассказано о задаче Фаньяно (о нахождении
треугольника наименьшего периметра, вписанного в данный
треугольник), о задаче Торричелли (о точке T, для которой
сумма расстояний Лекция 15 (101) 28.02.2004. Игорь Дмитриевич ЖИЖИЛКИН, учитель центра образования № 1874. ИнверсияИнверсия (симметрия относительно окружности) — это преобразование плоскости, при котором внутренняя и внешняя части окружности меняются местами. Такое «выворачивание плоскости наизнанку» обладает многми интересными свойствами и может быть использовано для решения сложных задач. Например, такова задача Паппа об арбелосе: если рассмотреть отрезок, разбитый некоторой точкой на два отрезка, и построить как на диаметрах три полуокружноси по одну сторону от прямой, а затем вписать окружноость в образовавшийся криволинейный треугольник (арбелос), то расстояние от ее центра до прямой равно ее диаметру. Будут рассмотрены некоторые частные случаи знаменитой задачи Апполлония о построении окружности, касающейся трех данных окружностей (некоторые из которых могут быть заменены на прямые), а также связь между инверсией и стереографической проекцией. Лекция 16 (102) 6.03.2004. Алексей Николаевич РУДАКОВ, профессор Независимого Московского и Норвежского научно-технологического университетов, заведующий отделом математики института системных исследований РАН, доктор физико-математических наук. Задавание вопросов и измерение количества информацииПолучение информации можно представить как получение ответов на вопросы. Количество информации естественно связано с количеством вопросов. Впрочем, стратегия задавания вопросов тоже влияет на их количество. Мы можем смоделировать ситуацию в виде игры между двумя участниками: один задает вопросы, другой отвечает. При обсуждении стратегии вопрошающего мы используем некоторое дерево решений и кодировку возможных ответов. Учет предпочтений «игроков» потребует привлечения вероятностных соображений. Таким образом, количество информации связано со средним количеством вопросов (математическим ожиданием их числа), необходимых при оптимальной стратегии. Лекция 17 (103) 13.03.2004. Алексей Николаевич РУДАКОВ, профессор Независимого Московского и Норвежского научно-технологического университетов, заведующий отделом математики института системных исследований РАН, доктор физико-математических наук. Вероятности прошлых событийГоворя о вероятностях, следует различать
объективные и субъективные вероятности. Первые определяют при помощи
статистики и многократных повторений экспериментов. Вторые нужны для
оценок правдоподобия и достоверности информации, и могут
применяться, как ни странно, даже к утверждению об одном
индивидуальном событии в прошлом. Объективные вероятности связаны с
академиком А.Н.Колмогорова, их ныне подробно изучаются во многих
вузах, а начала Тем не менее, математическая теория вероятности допускает обе интерпретации, так что обе они, казалось бы, должны быть представлены при обсуждении того, что такое вероятность. Тем не менее, хотя на скотном дворе все животные равны, некоторые скоты, как известно, заметно более равны, чем другие; поэтому нас не должно особенно удивлять неравенство в традиционном устоявшемся изложении. Целью рассказа будет объяснение того, что такое вероятность в её субъективной интерпретации, следуя Бернулли, Лапласу, Джефри и Джейнсу. Тема эта менее простая, чем то, что обычно рассказывают школьникам. С другой стороны, она близка здравому смыслу, и сам лектор был бы рад задуматься об этих фундаментальных и интересных идеях в юности. Для понимания лекции необходимо знать, что такое факториалы и биномиальные коэффициенты (числа сочетаний, треугольник Паскаля). Лекция 18 (104) 20.03.2004. Николай Германович МОЩЕВИТИН, доцент кафедры теории чисел мехмата МГУ, доктор физико-математических наук, учитель школы 1134, член Федерального экспертного совета по математической учебной литературе, преподаватель Малого мехмата. Функции Мёбиуса и ЭйлераВычислить количество натуральных чисел, не
превосходящих 1000 и взаимно простых с числом 1000, можно при помощи
так называемой формулы включений-исключений. А именно, из числа 1000
вычтем количество чётных чисел, то есть число φ (1000) = 1000 – 500 – 200 + 100 = 400. Функция Эйлера числа n — это количество натуральных чисел, не превосходящих числа n и взаимно простых с ним. Развитие идеи включений-исключений приводит к замечательной
теоретико-числовой Лекция 19 (105) 27.03.2004. Татьяна Константиновна КАМЕНЕВА, учитель геометрии школы имени А.С. Пушкина города Пермь. Памяти Игоря Фёдоровича ШарыгинаЗнакомство лектора с книгой И.Ф.Шарыгина произошло 30 марта 1997, когда В.И.Голубев сказал: «Будем в Нягани с Игорем Федоровичем проводить семинар — поговорим.» На всякий случай: Нягань находится за Полярным кругом! 27 августа 1997 года лектор появилась в Нягани с увесистым альбомом (сейчас их уже несколько) чертежей и с решениями примерно 500 из 1057 задач сборника «Геометрия 7–11». Искусством классической геометрии — и создания красивых чертежей, и нахождения неожиданных связей между геометрическими фигурами — И.Ф. Шарыгин владел в совершенстве. На лекции будут разобраны некоторые такие задачи и показаны соответствующие рисунки. Лекция 20 (106) 3.04.2004. Игорь Дмитриевич ЖИЖИЛКИН, учитель образовательного центра 1874. Поляры и проективная плоскостьВ XIX веке В.Понселе рассмотрел полярное
преобразование относительно окружности (или относительно эллипса,
гиперболы или параболы). Оно тесно связано с инверсией, но переводит
не точки в точки, а точки в прямые и прямые в точки. При этом точке
пересечения двух прямых соответствует прямая, проходящая через эти
две точки. Точки, лежащие на одной При полярном преобразовании центр окружности
«никуда не переходит». Это неудобно, поэтому к обычной евклидовой
плоскости добавляют ещё Лекция 21 (107) 10.04.2004. Владимир Леонидович НАТЯГАНОВ, доцент кафедры газовой и волновой динамики мехмата МГУ. М.В.Ломоносов и загадки электричества (к электродинамической модели торнадо)250 лет назад М.В. Ломоносов в своем знаменитом «Слове о явлениях воздушных, от электрической силы происходящих» высказал гипотезы об электрической природе шаровой молнии, «тифона» (тромба, атмосферного вихря, смерча или торнадо) и северного сияния, отнеся их к наиболее загадочным явлениям природного электричества. Общепринятая теория полярных сияний была предложена в начале прошлого века норвежским ученым Штермером, а вот относительно природы шаровой молнии и смерча согласия в научном мире нет и поныне. Все теоретические модели смерча (торнадо, атмосферного вихря) можно разбить на два основных типа: термодинамические и электрогидродинамические. Хотя гипотеза об электрической природе смерча появилась довольно давно (Ф.Бэкон — XVII век, М.В.Ломоносов — 1753 г., Р.Хейр — 1837 г., Пельтье — 1840 г.), однако большинство математических моделей, разрабатываемых с середины прошлого века, относятся к термодинамическому типу. Наряду с интересными фактами из натурных наблюдений за смерчами будут обсуждены перспективы построения математической модели электрогидродинамического типа, в частности, обобщение электровихревой модели смерча Лундквиста-Шерклифа-Щербинина в зрелой (и самой разрушительной) стадии его существования. Лекция может быть полезна не только школьникам 9-11 классов, но и студентам младших курсов МГУ. Литература:
Лекция 22 (108) 17.04.2004. Владимир Вячеславович СОКОЛОВ, ведущий научный сотрудник Института теоретической физики имени Л.Д. Ландау, профессор. Классификация правильных многогранниковПравильный многоугольник — это многоугольник, у
которого все углы равны и все стороны равны. Правильный многогранник
— это выпуклый многогранник, все грани которого являются равными
правильными многоугольниками, причём во всех вершинах сходится одно
и то же число граней. На лекции будет сформулировано определение
правильного многогранника в n-мерном пространстве. Для этого
будет введено понятие флага (для
Всем известно, что разных правильных
многоугольников бесконечно много. Теорема Шлефли (1850 год)
утверждает, что в трёхмерном пространстве правильных многогранников
пять (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), в
Желающие глубже познакомиться с темой лекции могут сделать это по первому тому «Геометрии» Марселя Берже (издательство «Мир», 1984 год). Лекция 23 (109) 24.04.2004. Николай Николаевич ОСИПОВ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Красноярского государственного технического университета и кафедры алгебры Красноярского государственного педагогического университета Многочлены ЧебышёваМногочлен Чебышёва Tn(x) — это такой многочлен, что для любого t верно равенство
cos(nt) = Tn(cos t).
Есть и другое, пожалуй даже более интересное определение: из всех
многочленов На лекции будет рассказано о равносильности этих двух определений многочленов Чебышёва, выведены разнообразные
рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют эти многочлены. Но главное содержание лекции составят не эти хорошо известные
соотношения и свойства, а довольно неожиданная теорема
В.А. Маркова. Коротко говоря, среди всех многочленов |
||||||
|