МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лекция 1 (44). 6.10.2001.

Юрий Петрович СОЛОВЬЁВ,

профессор мехмата МГУ

Неравенства

На лекции будет рассказано о неравенстве о среднем арифметическом и среднем геометрическом и его обобщении — неравенстве Йенсена. Неравенство о средних утверждает: среднее арифметическое любых неотрицательных вещественных чисел не меньше их среднего геометрического.

Неравенство Иоганна Людвига Иенсена (1859–1925) гласит: если функция выпукла вниз, то её значение в точке, являющейся средним арифметическим нескольких вещественных чисел, не превосходит среднего арифметического значений этой функции в этих точках.

Лекция 2 (45). 13.10.2001.

Анатолий Георгиевич КУШНИРЕНКО,

доцент мехмата МГУ, заведующий отделом НИИ системных исследований РАН

Многогранники Ньютона и число корней системы алгебраических уравнений

Решая системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными, Ньютон использовал многоугольник, который легко построить, зная только то, какие одночлены входят в уравнение с ненулевыми коэффициентами. Позже этот многоугольник был назван многоугольником Ньютона, а его обобщение на случай трёх или более переменных — многогранником Ньютона. Оказывается, многие свойства системы алгебраические уравнений со многими неизвестными можно определить, зная не сами уравнения, а только их многогранники. Использование многогранников Ньютона даёт пример плодотворной связи геометрии, алгебры и анализа. Об этих связях и пойдёт речь на лекции.

Лекция 3 (46). 20.10.2001.

Александр Кириллович КОВАЛЬДЖИ,

заместитель директора лицея «Вторая школа», соавтор книги «Как решать нестандартные задачи»

Ошибки в доказательствах

В доказательствах нередко встречается фраза «Очевидно, что ...». Однако видимость бывает обманчивой. Есть ошибки, которые делают почти все начинающие. Например, большинству людей очевидно, что мы видим неполную Луну потому, что Земля бросает на неё тень. А так ли это?

Некоторые ошибки носят психологический характер, многие вызваны недостатками образования, а есть и такие, с которых начинались новые направления исследований. Процесс поиска ошибок бывает не только трудной, но и увлекательной задачей. Это и будет продемонстрировано на лекции.

Лекция 4 (47). 27.10.2001.

Брошюра

Ирина Михайловна ПАРАМОНОВА,

кандидат физико-математических наук, преподаватель Независимого Московского Университета

Симметрия в математике

Что общего между уравнением x⁴ + y⁴ + z⁴ = 1 и равносторонним треугольником? Какая математическая задача лежит в основе создания наиболее тонкого современного средства медицинской диагностики — компьютерной томографии? Ответ на эти и многие другие вопросы заключён в понятии симметрии. На лекции будет рассказано о том, что понимается под симметрией в современной математике. В частности, будет объяснено, что такое группа преобразований и абстрактная группа, что такое инварианты группы, откуда берутся эти понятия и зачем они нужны.

Лекция 5 (48). 3.11.2001.

Сергей Петрович КОНОВАЛОВ,

доцент МФТИ, член редколлегии журнала «Квант»

Арифметика и шифры

Математику и искусство тайнописи объединяет не только то, что шифрование информации издавна производится заменой букв цифрами (само слово «шифр» происходит от французского chiffre — цифра.)

В современных способах шифрования используются и свойства чисел. Например, компьютер легко перемножит два даже очень больших (сотни знаков) натуральных числа. А вот разложить на простые множители полученное произведение за «разумное» время ему не удаётся: существующие методы решения этой задачи связаны с перебором огромного числа вариантов.

На этом простом замечании основана удивительная система шифрования RSA, о которой и будет рассказано на лекции.

Лекция 6 (49). 10.11.2001.

Сергей Александрович ДОРИЧЕНКО,

преподаватель 57 школы и НМУ, соавтор книги «Этюды о шифрах»

Алгебраические кривые на плоскости

Знаменитая теорема Паскаля гласит: если шестиугольник ABCDEF вписан в окружность, то точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой. Утверждение теоремы останется верным, если заменить окружность на любую кривую второй степени (эллипс, параболу, гиперболу или пару прямых).

Мы докажем эту теорему алгебраически, но почти без вычислений — очень просто и красиво выведем её из теоремы Безу, которая утверждает, что любые две алгебраические кривые на плоскости степеней m и n соответственно пересекаются либо по целой кривой, либо по конечному числу точек, которое не превосходит mn (более точная формулировка будет дана на лекции). Доказательство теоремы Безу в общем случае не просто, но нам будет достаточно одного частного случая этой теоремы, который мы и докажем.

С помощью теоремы Безу можно доказать и некоторые другие планиметрические теоремы (например, теорему Дезарга и теорему о бабочке).

Теорема Безу позволяет ответить и на вопросы следующего типа: можно ли задать на плоскости Oxy системой алгебраических уравнений одну ветвь гиперболы? (Алгебраическое уравнение — это выражение вида P(x,y) = 0, где P(x,y) — многочлен от двух переменных, то есть сумма слагаемых вида ax^ky^l, где a — любое число, k и l — неотрицательные целые числа.)

Лекция 7 (50). 17.11.2001.

Брошюра

Владимир Игоревич АРНОЛЬД,

академик РАН

Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов

Комплексные числа доставляют алгебраическое описание движений евклидовой плоскости. Движения трехмерного евклидова пространства не всегда коммутируют, и их описание приводит к некоммутативной алгебре. Одному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватерниона, и их различие связано с топологией трёхмерного проективного пространства. Физики назвали это топологическое явление спином. «Вращения» электронов отличаются от вращений твёрдых тел именно различием спинов, играющих решающую роль при описании электронных оболочек атомов.

В докладе, не требующем для своего понимания предварительных знаний, будут, наряду с основными фактами классической теории, рассказаны некоторые новые результаты и гипотезы. Например, комплексной версией тетраэдра оказывается октаэдр, а гипотеза, что кватернионная его версия — икосаэдр, не доказана. Комплексная и кватернионная версия проективной геометрии приводят к исследованию преобразований проективной плоскости, переводящих проективные прямые в проективные прямые. В комплексном случае такие гладкие преобразования сводятся к комплексным проективным преобразованиям (быть может, при помощи комплексного сопряжения). В кватернионном случае ситуация сложнее, так как кватернионное сопряжение меняет порядок сомножителей и является не автоморфизмом, а антиавтоморфизмом алгебры кватернионов. Вероятно, непрерывных преобразований в обоих случаях столько же, сколько гладких, но это не доказано.

Геометрия кватернионных преобразований приводит также к своеобразному аналогу стереографической проекции, доставляющем многомерный аналог той параметризации окружности тангенсом половинного угла, которая сводит тригонометрические интегралы к интегралам от рациональных функций, доставляя в то же время древнюю формулу для «пифагоровых» троек вроде 3² + 4² = 5². С топологической точки зрения эта же конструкция определяет спиноры, накрывающие вращения пятимерного пространства (подобно тому, как спины делают это с вращениями трёхмерного). В высших размерностях аналогичная конструкция доставляет серии простых алгебр Ли C_n, так что спиноры получаются лишь из-за совпадения C₂ с B₂ (кватернионная унитарность редуцируется к ортогональности).

Лекция 8 (51). 24.11.2001.

Александр Рафаилович ЗИЛЬБЕРМАН,

учитель физики лицея «Вторая школа», член редколлегии журнала «Квант» (ведущий раздела физики «Задачника "Кванта"»), составитель всех прошедших шести физических соросовских олимпиад, многолетний тренер команд СССР (ныне России) к Международным физическим олимпиадам

Волны. Звук

Разговор пойдёт о звуковых волнах: что это такое, как волны себя ведут, как их излучать и принимать, как человек воспринимает звук и что физики говорят о музыке, когда их об этом спрашивают. Кроме того, речь пойдет о том, что теряется при цифровом кодировании звуков, что подразумевают под качеством звучания. (Могут ли слушать высококачественную музыку не очень богатые люди?)

Лекция 9 (52). 1.12.2001.

Брошюра

Владимир Георгиевич СУРДИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ГАИШ МГУ

Приливные силы на Земле и в космосе

Среди четырех фундаментальных сил природы — гравитационной, электромагнитной, сильной и слабой ядерных,— этой силы нет. Тем не менее, вызванные приливной силой эффекты влияют на движение планет, звёзд и галактик, расположение созвездий, на погоду, морскую и речную навигацию, на рост растений и эволюцию биосферы. Даже идея создания машины времени, которую можно было бы осуществить, используя чёрные дыры, наталкивается на почти непреодолимое препятствие — приливные силы. Впрочем, поняв их особенности, вы, возможно, сумеете преодолеть и это!

Лекция 10 (53). 8.12.2001.

Валерий Борисович АЛЕКСЕЕВ,

заведующий кафедрой математической кибернетики факультета ВМК МГУ, профессор

Арифметические алгоритмы и оценки их сложности

Важной составной частью многих алгоритмов являются действия над числами. Например, арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), нахождение делителей и разложение на множители, нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел и так далее.

Для всех этих операций есть алгоритмы, которые изучают в школе. Но в стороне остается вопрос о том, нет ли более быстрых алгоритмов. На лекции будет рассказано, как построить сумматор из простых логических элементов («дизъюнкция», «конъюнкция», «отрицание»), как перемножать числа быстрее, чем «в столбик», об оценках сложности алгоритма Евклида и задачи возведения в степень.

Лекция 11 (54). 15.12.2001.

Аскольд Георгиевич ХОВАНСКИЙ,

доктор физико-математических наук, профессор Московского Независимого Университета, главный научный сотрудник Института Системного Анализа РАН

Симметрические многочлены. Уравнения третьей и четвертой степеней

Все вы знаете, как решать квадратные уравнения. Многие слышали, что не существует явной формулы, использующей арифметические операции и операции извлечения корней, которая бы давала решение общего уравнения пятой (и тем более любой более высокой) степени.

Однако для каждого многочлена можно вычислить любой симметрический многочлен от его корней. На лекции будет объяснено, что это такое, как это сделать и как можно использовать симметрические многочлены для нахождения явных формул корней уравнения третьей или четвёртой степени (формул Кардано и Феррари).

Лекция 12 (55). 22.12.2001.

Брошюра

Александр Владимирович ЖУКОВ,

ведущий рубрики «"Квант" для младших школьников» журнала «Квант»

Число π

Краткая «биография» числа π: Архимед, Гюйгенс, Грегори, Леонард Эйлер и другие.

История вычисления числа π. Современные алгоритмы (Питер и Джонатан Борвейны).

Всегда ли π = 3,14...? Что такое π в геометрии Минковского?

Нерешённые проблемы, связанные с числом π: одинаково ли часто встречаются разные цифры в записи числа π?

Лекция 13 (56) 16.02.2002.

Юлий Менделевич БРУК,

старший научный сотрудник отделения теоретической физики Физического института имени П.Н. Лебедева РАН, доцент МФТИ, один из создателей Всероссийской олимпиады школьников и журнала «Квант»

Как физики делают оценки?

Были затронуты следующие вопросы:
1) Всё ли можно измерить или вычислить?
2) Зачем нужны оценки?
3) Как оценить то, что нельзя измерить?
4) Метод размерностей. Системы единиц.
5) Подобие физических процессов и явлений.

Изложение было построено на конкретных примерах из физики и астрофизики. Например, почему горы на Земле не слишком высокие, какая температура в центре Солнца, какое максимальное давление можно создать в лаборатории, с какими скоростями движутся электроны в металле, могут ли существовать кристаллические звёзды, чему равна скорость звука внутри нейтронных звезд, чем похожа капля воды на атомное ядро.

Лекция 14 (57) 2.03.2002.

Семеон Антонович БОГАТЫЙ,

доктор физико-математических наук, доцент кафедры общей топологии и геометрии мехмата МГУ

Равногранные тетраэдры

Пространственным аналогом треугольника является тетраэдр (треугольная пирамида). Многие теоремы геометрии треугольника или их аналоги справедливы и в геометрии тетраэдра: вокруг всякого тетраэдра можно описать единственную сферу; во всякий тетраэдр можно вписать единственную сферу; все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке (центре тяжести) и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершины, через эту же точку проходят три отрезка, соединяющие середины противоположных ребер, и делятся в ней пополам. Некоторые теоремы о треугольниках не справедливы для общих тетраэдров: высоты тетраэдра не всегда пересекаются в одной точке.

Однако имеются достаточно широкие классы тетраэдров (два самых важных класса — равногранные и ортоцентрические), которые могут быть определены посредством справедливости в них аналогов некоторых плоских теорем, или теорем, имеющих сугубо пространственный характер. Мы рассмотрим равногранные тетраэдры, которые могут быть определены любым из более чем 20 равносильных условий, из которых приведем 15 наиболее просто формулируемых.

Итак, для тетраэдра следующие условия эквивалентны:

• Противоположные ребра равны.
• Все грани равны между собой.
• Площади всех граней равны.
• Все высоты равны.
• Сумма плоских углов в каждой вершине равна 180°.
• Все четыре трехгранных угла тетраэдра равны между собой.
• Все четыре трехгранных угла тетраэдра имеют одинаковую телесную меру.
• Существует такой остроугольный треугольник, что если в нём провести средние линии и «перегнуть» три треугольника, примыкающих к вершинам, то получим данный тетраэдр.
• Противоположные двугранные углы равны.
• Вписанная сфера касается каждой грани в центре окружности, описанной вокруг треугольника этой грани.
• Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников граней, равны.
• Совпадают какие-нибудь две точки из следующих: барицентр (центр тяжести); центр вписанной сферы; центр описанной сферы; точка Ферма-Торричели.
• Если через каждое ребро тетраэдра проведём плоскость параллельно противоположному ребру, то получим прямоугольный параллелепипед.
• Радиусы вписанной сферы и высоты тетраэдра связаны одним из следующих равенств: 16r=h₁+h₂+h₃+h₄; 4r=(h₁h₂h₃h₄)^1/4.
• В каждой грани центр окружности, описанной вокруг грани, лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр грани с проекцией на эту грань противоположной вершины, и делит этот отрезок пополам.

Лекция 15 (58) 16.03.2002.

Александр Олегович ИВАНОВ,
Алексей Августинович ТУЖИЛИН,

профессора кафедры дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ, соавторы книг «Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей», «Минимальные сети. Проблема Штейнера и её обобщения», «Разветвлённые решения одномерных вариационных задач», «Разветвлённые геодезические. Геометрическая теория локально минимальных сетей»

Проблема Штейнера и её обобщения

Проблема Штейнера возникла из рассмотрения следующей задачи: построить кратчайшую сеть дорог, соединяющих заданные города. Если ограничиться рассмотрением дорог, которые начинаются и заканчиваются в городах, то при небольшом количестве городов решение можно найти при помощи полного перебора на компьютере. Однако если допустить развилки — дополнительные пункты, в которых могут встречаться сразу несколько дорог,— то задача становится сложной: количество возможных конфигураций растет очень быстро с ростом числа городов, и в практически значимых ситуациях современные компьютеры бессильны построить решение за разумное время.

Идеи, встречающиеся при исследовании проблемы Штейнера, можно применить и в других задачах: например, при проектировании микросхем или в теории эволюции живых существ (при построении так называемых филогенетических деревьев). На лекции будут сформулированы некоторые нерешённые задачи, для понимания условий которых вполне достаточно знания школьного курса геометрии.