МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ | ||||||
2002/2003 учебный годЛекция 1 (65) 5.10.2002. Николай Петрович ДОЛБИЛИН, ведущий научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, доцент мехмата МГУ, член редколлегии журнала «Квант». Игра «хаос» и фракталыХотя первые «фрактальные» объекты (например, кривая Пеано, заметающая весь квадрат, или совершенное канторово множество) появились в математике ещё в XIX веке, понятия «фрактал», «хаос», «множества Жюлиа» и «множество Мандельброта» привлекли к себе внимание широкой публики лишь в последние 10–20 лет. Это произошло благодаря тому, что была создана коллекция совершенно необычных прелестных образов. За их внешней привлекательностью стоит очень красивая математика. Лекция посвящена игре «хаос», с помощью которой можно рисовать на экране компьютера изящные фракталы, а также множествам Жюлиа и множеству Мандельброта (для понимания второй части лекции нужно знать, что такое комплексные числа). После лекции был показан фильм о множествах Жюлиа и Мандельброта. Подробнее ознакомиться с фракталами
можно по статье А.В. Жукова «Фракталы» энциклопедии «Аванта+»,
статьям Н.П. Долбилина «Игра «хаос» и фракталы» («Квант»,
Лекция 2 (66) 12.10.2002. Анатолий Георгиевич КУШНИРЕНКО, доцент мехмата МГУ, заведующий отделом НИИ системных исследований РАН. Индукционные функции на пространстве последовательностей, однопроходные алгоритмы и параллельные вычисленияФункцию на пространстве конечных числовых
последовательностей называют индуктивной, если значение функции на
последовательности длины k+1 можно вычислить, зная значение
функции на последовательности из первых k чисел и последнее
число. Например, функция «сумма элементов последовательности»
является индуктивной: чтобы получить сумму последовательности из
Любую индуктивную функцию можно вычислить за «один
проход», перебирая элементы последовательности от начала к концу
один раз. Для функции «сумма элементов последовательности» это
делается так: «сумма первого элемента последовательности равна ему
самому, сумма первых Функция «число элементов, равных нулю» является
индуктивной, а функция «число элементов, равных максимальному
Если элементы последовательности записаны на магнитной ленте или магнитном диске, то при вычислении значения функции основное время тратится на перебор элементов и предпочтительнее вычислять значение функции за один проход. В первой части лекции будет рассказано о
минимальным индуктивным расширении заданной Если мы интересуемся не минимизацией работы по вычислению некоторого одного значения функции, а минимизацией времени этого вычисления, то можно попробовать распараллелить работу. Например, если человек складывает или умножает два числа за 10 секунд, то на сложение 2000 чисел он потратит более пяти с половиною часов, а на вычисление значения многочлена степени 1000 — более 11 часов. Тысяча человек смогли бы провести подобные вычисления гораздо быстрее (подумайте, как 1000 человек могли бы организовать работу по быстрому вычислению суммы 2000 чисел). Во второй части лекции будет рассказано, как 1000 человек могли бы быстро вычислить значение многочлена степени 2000. В заключение будет обсуждена задача быстрого параллельного сложения «в столбик» многозначных двоичных чисел. Лекция 3 (67) 19.10.2002. Юлий Александрович ДАНИЛОВ, старший научный сотрудник Российского Научного Центра «Курчатовский институт», переводчик на русский язык книг Гарднера, Кеплера, Галилея, Эйнштейна, Пуанкаре, Паули, Кирхгофа, Гильберта, Тьюринга и Гейзенберга. МаятникТеория математического и физического маятников была построена Христианом Гюйгенсом (1629–1695) и Галилео Галилеем (1564–1642) на основе закона сохранения энергии и использования связи между движениям тел по наклонной плоскости и колебаниями маятника. Собственно говоря, закон сохранения энергии был выведен Гюйгенсом при анализе колебаний маятника. Исследования Гюйгенса намного переросли изучение частной механической системы, какой является маятник. Маятниковые часы Христиана Гюйгенса. Решение им проблемы изохронных колебаний маятника: создание часов с равномерным ходом. Маятник служит для точного измерения ускорения свободного падения g. Гравиметрическая разведка и обратная задача теории потенциала: определение контуров скрытого под землёй рудного тела по измерениям g. Проверка пропорциональности инертной и тяжёлой масс Бесселем (1784–1846) с помощью маятника. Равенство инерциальной и тяжёлой масс как постулат общей теории относительности Эйнштейна (1879–1955). Гармонические колебания в механических системах и электрических контурах с ёмкостью и индуктивностью. Лекция 4 (68) 26.10.2002. Александр Васильевич СПИВАК, соросовский учитель школ Цепи и антицепиИз любых ли пяти выписанных в ряд различных чисел
можно выбрать три, стоящие в этом ряду в порядке убывания или в
порядке возрастания? А из Можно ли разместить на прямой 7 отрезков так, чтобы из любых трёх некоторые два пересекались и не было бы ни одной точки, принадлежащей сразу четырём отрезкам? Сколь много подмножеств данного n-элементных множеств можно выбрать так, чтобы любые два из них пересекались? Король пригласил на пир всех знакомых людоедов. Среди них есть людоеды, которые хотят съесть других людоедов (если людоед A хочет съесть людоеда B, то это не значит, что людоед B хочет съесть людоеда A). Известно, что наидлиннейшая цепочка, в которой каждый людоед хочет съесть следующего, состоит из шести людоедов. Сможет ли король так рассадить людоедов за шесть столов, чтобы ни за каким столом никто не хотел съесть никого из сидящих за тем же столом? С таких задач начался рассказ о частично упорядоченных множествах. Затем была доказана теорема Дилуорса: если наибольшее количество элементов антицепи конечного частично упорядоченного множества равно n, то его можно разбить на n цепей. Лекция 5 (69) 2.11.2002. Александр Сергеевич МИЩЕНКО, профессор кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ, лауреат Государственной премии по науке и технике, соавтор (с А.Т. Фоменко) учебника «Курс дифференциальной геометрии и топологии», автор книги «Векторные расслоения и их приложения». Математика и генетикаРеволюция в молекулярной биологии, связанная с
развитием методов чтения ДНК, привела к пониманию того факта, что
генетика не может обойтись без математического анализа
последовательностей нуклеиновых кислот и белков (для прочтения,
расшифровки и предсказания их функций, в частности, для расшифровки
генома человека). Возникла новая Ещё в 1989 году один из разработчиков математических методов генетики М. С. Уотермен писал, что одной из нерешённых проблем является создание программного обеспечения: ведь для биолога важно работать с данными на привычном языке. До тех пор, пока это не сделано, пользователи вынуждены писать громоздкие промежуточные процедуры, связывающие программы анализа и базы данных. Объём генетической информации катастрофически возрастает, а такое программное обеспечение ещё не создано. Тем не менее, в ближайшем будущем ожидается создание единой международной базы генетических данных и системы их обработки. В лекции на различных примерах было рассказано, какие типичные математические задачи возникают при исследовании генетической информации. Лекция 6 (70) 16.11.2002. Дмитрий Александрович КАЛИНИН, преподаватель математики костромского центра
дополнительного образования одарённых школьников, один из
организаторов и автор многих задач турнира Три доказательства теоремы ФейербахаДоказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма
Фейербаха (1800–1834) утверждает, что окружность девяти точек
(окружность, проходящая через середины сторон, основания высот и
середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) касается
вписанной окружности треугольника и трёх его вневписанных
окружностей. Эта
Литература:
И.Ф. Шарыгин, «Геометрия. 9–11 классы. От учебной задачи к
творческой»; В. Протасов, «Вокруг теоремы Фейербаха» («Квант»,
Лекция 7 (71) 23.11.2002. Рафаил Калманович ГОРДИН, заслуженный учитель России, учитель математики
школы Некоторые задачи планиметрииБыло рассказано о некоторых методах решения планиметрических задач: вспомогательные построения, площади, вспомогательная окружность, геометрические места точек, подсчёт углов, геометрические преобразования. В качестве примеров были рассмотрены красивые (и не обязательно трудные) задачи, в разное время предлагавшиеся на математических олимпиадах, а также такие классические задачи, как задача Архимеда о вписанной в сегмент ломаной, задача Ферма о точке, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна, задача Фаньяно о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в данный треугольник. Лекция 8 (72) 30.11.2002 Сабир Меджидович ГУСЕЙН-ЗАДЕ, профессор мехмата МГУ. Разборчивая невестаПримерно 40 лет тому назад Мартин Гарднер придумал такую задачу: «В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей и королевичей, их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего из претендентов?». В 1965 году её формулировку и решение рассказал на своём семинаре Е.Б. Дынкин. Но его метод был необобщаем на другие варианты задачи: например, когда целью является выбор не наилучшего, а одного из трёх лучших. В таком виде задача была решена лектором при помощи метода, который легко переносится и на ряд близких задач. Так из полушуточной задачи вырос новый раздел
Лекция 9 (73) 7.12.2002. Андрей Михайлович РАЙГОРОДСКИЙ, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры математической статистики и случайных процессов мехмата МГУ, автор обзорной статьи «Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств» журнала «Успехи математических наук». Хроматические числаВ сороковые годы XX века известными математиками
П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых
коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных
задач комбинаторной Эта задача до сих пор не решена даже для
Кроме доказательств и формулировок многих теорем, на лекции будет рассказана история проблемы и некоторые нерешённые задачи, которые в будущем могут стать для кого-то из слушателей темами для исследований. Лекция 10 (74) 14.12.2002. Владимир Игоревич АРНОЛЬД, академик РАН. Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружностиДинамическая система Ферма действует на множестве
вычетов по Эйлер предложил ограничить эту динамику на
множество вычетов, взаимно простых с n, и это позволило
ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что
an-1=1(mod n) для любого
Удивительным свойством динамики Ферма–Эйлера
является равенство периодов всех циклов этой динамической системы,
являющейся перестановкой, диаграмма Юнга Будет рассказано об удивительных свойствах этих
прямоугольников, функции T(n), выражающей период
динамики Ферма-Эйлера, и площади S(n) этого
прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот «физический» смысл некоторых из этих свойств. Случайно выбранные T элементов
m-элементного множества как правило различны, если
Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма–Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов. Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий. Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит
это исследование, упомяну бесконечность множества простых
чисел q, для которых Лекция 11 (75) 21.12.2002 Константин Петрович КОХАСЬ, старший преподаватель кафедры математического анализа математико-механического факультета СПбГУ. Ладейные числа и многочленыДля произвольной клетчатой фигуры («доски»)
и натурального r0 + r1x + r2x2 + ... На лекции будет рассказано о свойствах ладейных
чисел Лекция 12 (76) 15.02.2003. Николай Германович МОЩЕВИТИН, доцент кафедры теории чисел мехмата МГУ, лауреат
Государственной премии для молодых учёных, доктор
физико-математических наук, учитель школы Теорема Минковского о выпуклом теле, диофантовы приближения и возвращаемостьТеорема Минковского о выпуклом теле гласит: всякое
выпуклое симметричное относительно начала координат подмножество
плоскости, площадь которого больше 4, содержит хотя бы одну
точку с целыми координатами, отличную от начала координат. Эта одна
из основополагающих теорем геометрии чисел имеет много
применений в теории диофантовых приближений — науке о том,
как действительные числа приближаются рациональными. Будет доказан
один несложный результат из этой Лекция 13 (77) 22.02.2003. Алексей Геннадьевич МЯКИШЕВ, учитель геометрии лицеев Точка пересечения медиан треугольникаБудут рассмотрены некоторые свойства точки пересечения медиан треугольника: как классические, так и недавно обнаруженные. 1. Точка пересечения медиан (центроид) — это центр тяжести треугольника (другими словами, сумма векторов, соединяющих точку пересечения медиан с вершинами треугольника, равна нулевому вектору). 2. Сумма квадратов расстояний от этой точки
минимизирует сумму квадратов расстояний до вершин треугольника, а
точка Лемуана (точка 3. Две замечательные прямые, содержащие центроид:
прямая Эйлера (прямая 4. Если на сторонах AB, BC и
CA треугольника ABC взяты соответственно точки
C', A' и B' так, что отрезки AA',
BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма
векторов 5. Центры окружностей, описанных около шести
треугольников, на которые медианы разбивают данный треугольник,
лежат на одной 6. Если точка P пересечения чевиан
AA', BB' Лекция 14 (78) 1.03.2003. Татьяна Александровна ГАЛКИНА, кандидат педагогических наук, учитель школы Видимое движение звёзд и СолнцаВ настоящее время астрономические знания не являются столь необходимыми для человека, как много веков назад: чтобы ориентироваться в пространстве и во времени, нам ни к чему длительные наблюдения за светилами, достаточно посмотреть на часы, календарь, географическую карту или даже спросить о своём местоположении у спутника Земли. Тем не менее, мы не можем не замечать Солнце, Луну или звёздное небо. Хотелось бы, чтобы каждый образованный человек не только наблюдал ежедневно происходящие у нас «над головой» явления, но и понимал их причины. Вы узнаете ответы на следующие вопросы.
Лекция 15 (79) 15.03.2003. Виктор Николаевич ЛАТЫШЕВ, заведующий кафедрой высшей алгебры мехмата МГУ. Системы нелинейных алгебраических уравненийКарл Фридрих Гаусс считал математику царицей всех наук; развитие науки подтверждает это высказывание. Царицей математики Гаусс называл арифметику. Многие склонны рассматривать математику как «науку об уравнениях». Есть основания и для такой точки зрения. Левые части уравнений могут быть весьма сложными
функциями. Но в эффективных вычислениях чаще всего левые В школьном курсе изучают системы линейных уравнений от двух и трёх переменных. Их решают методом Гаусса исключения неизвестных. Для решения системы алгебраических уравнений от одной переменной необходимо найти наибольший общий делитель левых частей уравнений и найти его корни. Наибольший общий делитель ищут при помощи алгоритма Евклида. На первый взгляд алгоритм Евклида и метод Гаусса
имеют различную природу. На лекции будет изложен современный метод
решения систем нелинейных алгебраических уравнений, основанный на
базисе Грёбнера полиномиального идеала. Алгоритм Евклида и метод
Лекция 16 (80) 22.03.2003. Григорий Вячеславович КОНДАКОВ, руководитель сектора математики ДНТТМ. Производящие функцииРешать многие комбинаторные задачи помогают производящие функции. Именно так обстоит дело для чисел Каталана и чисел Фибоначчи, а также во многих других комбинаторных задачах. Рассказу об этом была посвящена лекция. Планировалась лекция И.В. Разумовской, но была заменена из-за внезапной болезни лектора. Лекция 17 (81) 29.03.2003. Сергей Георгиевич СМИРНОВ, ведущий научный сотрудник Российской академии образования, кандидат физико-математических наук. Прогулки по замкнутым поверхностямИзучение замкнутых поверхностей началось в XVIII
веке с теоремы Эйлера: Лекция 18 (82) 5.04.2003. Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ, доцент кафедры дифференциальных уравнений мехмата МГУ и профессор СУНЦ, соросовский учитель. Избранные задачи олимпиад мехматаОдиннадцатый год подряд мехмат проводит
математическую олимпиаду для 8-10 классов. Участвуют в олимпиаде не
только москвичи, но и ребята из Две плоскости делят поверхность куба на четыре части одинаковой площади. Докажите, что куб они делят на четыре части одинакового объёма. Прямая, заданная уравнением Докажите, что если m и Лекция 19 (83) 12.04.2003. Игорь Федорович ШАРЫГИН, известный популяризатор науки, автор ряда статей и книг по геометрии. Геометрические этюдыНа лекции будут рассмотрены некоторые классические, общеизвестные теоремы и факты из планиметрии, такие как теорема Морлея (точки пересечения трисектрис углов треугольника являются вершинами правильного треугольника) и теорема Фейербаха (вписанная окружность касается «окружности девяти точек», проходящей через середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами). Для этих теорем будут предложены простые, малоизвестные доказательства, не использующие каких-либо вычислений. Также будут обсуждены вариации и обобщения теоремы
Бретшнейдера (для любого четырёхугольника ABCD выполняется
соотношение AC2BD2 =
AB2CD2 +
BC2DA2 – 2AB · BC
· CD · DA · cos(/ABC +
/CDA), теоремы Крелля (если a и b,
c и d, e и Лекция 20 (84) 19.04.2003. Ирина Васильевна РАЗУМОВСКАЯ, доктор химических наук, научный руководитель лаборатории физики полимеров, профессор, заведующая кафедрой физики твёрдого тела МПГУ. Тепловое движение в твёрдых телах и жидкостяхЭнергия связи между частицами в конденсированных системах — твёрдых телах и жидкостях — велика по сравнению со средней энергией теплового движения. Поэтому возбуждения разной природы носят коллективной характер, распространяются по всему телу: достаточно одной частице сдвинуться из положения равновесия — и сдвигаются соседние частицы, по телу бежит упругая волна. Проще всего рассмотреть тепловое движение в
кристаллах - твёрдых телах с дальним порядком в расположении частиц.
Тепловое движение в кристалле принципиально отличается от теплового
движения в газе и представляет собой набор огромного числа упругих
(продолных и поперечных) волн. Обычно можно считать, что действующая
на каждую частицу сила прямо пропорциональна смещениям частиц из
положения равновесия. Такое приближение называют гармоническим, и
оно соответствует гармоническим колебаниям, распространяющимся по
всему кристаллу и не взаимодействующим между собой. При этом каждая
частица колеблется под влиянием всех колебаний Если рассмотреть какую-то плоскость в кристалле, в которой частицы расположены периодически, то положения равновесия соответствуют минимумам потенциальной энергии. Откладывая координаты частиц по осям абсцисс и ординат, а потенциальную энергию – по оси аппликат, мы получим потенциальный рельеф с долинами, вершинами и перевалами сложной конфигурации. Движение частицы напоминает движение точки, катящейся по этому «горному рельефу». Теория теплового движение помогает объяснять многие свойства конденсированных систем: зависимость электропроводности металлов от температуры, теплопроводность диэлектриков, тепловое расширение. Наконец, описание теплового движения частиц можно
проводить, привлекая представления о Лекция 21 (85) 26.04.2003. Владимир Владимирович СПЕРАНТОВ, кандидат педагогических наук, доцент кафедры общей и экспериментальной физики МПГУ. ИнтерференцияМожно ли свет погасить светом? Оказывается, в
некоторой Интерферируют волны любой природы: волны на воде, звуковые волны, волны на скрипичной струне, радиоволны, видимый свет, рентгеновские и гамма-излучения. Изучая законы интерференции, физики получили законы распространения волн и научились с помощью волн передавать информацию. Наблюдение за интерференцией привело к созданию современных телескопов, способных исследовать излучение удалённых звёзд и галактик, и микроскопов, измеряющих длины с точностью до одной миллионной доли метра, а также изучать структуры кристаллов и получать спектральные «портреты» атомов. Лекция 22 (86) 17.05.2003. Жан-Кристофф НОВЕЛЛИ, сотрудник франко-русской лаборатории; Флоран Ивер, сотрудник национального центра научных исследований (CNRS, г. Париж). Математика жонглированияДля изучения жонглирования будут построены конечные автоматы (знание теории автоматов не предполагается, нужные понятия будут разъяснены на лекции). Будет получена формула для количества возможных фигур жонглирования. Слушателю полезно (но не обязательно) знакомство с перестановками и биномиальными коэффициентами. Мы приглашаем на эту лекцию не только школьников 9-11 классов, но и многих других: лекция будет сопровождена жонглированием с пятью предметами, поясняющим теоретические изыскания. Переводить на русский язык и комментировать будет профессор Алексей Брониславович Сосинский. |
||||||
|