МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Популярные лекции по математике
Лекция 1 2.10.1999
Николай Петрович ДОЛБИЛИН,
старший научный сотрудник Математического института имени В.А. Стеклова, доцент мехмата МГУ, член редколлегии журнала «Квант».
Теорема Коши о жёсткости многогранников
Теорема утверждает, что любые два выпуклых многогранника, которые одинаково составлены из соответственно равных граней, равны. В частности, теорема Коши объясняет, почему картонная модель многогранника не деформируется, является жёсткой.
Один из крупнейших геометров ХХ века академик А.Д. Александров писал, что метод, которым Коши доказал свою теорему, представляет собой одно из прекраснейших рассуждений, какие только знает геометрия...
Лекция 2 9.10.1999.
Михаил Львович ГЕРВЕР,
доктор физико-математических наук.
Числа Каталана и их применение в (3n + 1)-проблеме
Дан выпуклый (n + 2)-угольник. Разобьём его диагоналями на n треугольников. Сколькими способами это можно сделать?
Даны 2n точек на окружности. Разобьём эти точки на n пар так, чтобы соединяющие их n хорд не пересекались друг с другом. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами можно правильно расставить n + 1 «открывающих» и n + 1 «закрывающих» скобок?
Эти и ряд других красивых задач приводят к числам Каталана Cn. Было рассказано о числах Cn и о попытке их применения в (3n + 1)-проблеме — знаменитой задаче, которую можно сформулировать за минуту и которую не могут решить уже более 70 лет.
Лекция 3 16.10.1999.
Александр Ханевич ШЕНЬ,
старший научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН, учитель школы № 57.
Программирование с точки зрения математика
Традиционно считается, что программирование — важная, нужная, иногда высокооплачиваемая, но скучная деятельность. На самом деле это не так: в программировании есть интересные математические задачи и красивые решения. Например, оценка сложности алгоритма, поиск наибольшего элемента, сортировка, задача о«представителе большинства», доказательствa правильности программ, инварианты, задача о возведении в степень.
На лекции шла речь о том, что могут и что не могут делать вычислительные машины, а также об одной из труднейших нерешённых задач — проблеме P =(?) NP.
Лекция 4 23.10.1999
Андрей Андреевич БОЛИБРУХ,
академик РАН, директор математического института имени В.А. Стеклова.
Проблемы Гильберта (100 лет спустя)
Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом Гильбертом (1862–1943) на Парижском международном математическом конгрессе 1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие математики XX века. Одна из целей лекции — показать, что многие известные и довольно сложные математические проблемы вполне естественны, так что даже старшеклассник может понять причины появления этих проблем и их формулировки.
Лекция 5 30.10.1999
Владимир Михайлович ТИХОМИРОВ,
профессор кафедры общих проблем управления мехмата МГУ, заместитель главного редактора журнала «Квант», автор книги «Рассказы о максимумах и минимумах».
Великие математики прошлого и их великие теоремы
Было рассказано о высших математических достижениях Архимеда (III век до н.э.), Пьера Ферма (1601–1665), Леонарда Эйлера (1707–1783), Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).
Такими достижениями являются: формула объёма шара, равенство epi = –1, представимость простого числа вида 4n + 1 в виде суммы двух квадратов и представимость любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов, а также построение правильного 17-угольника циркулем и линейкой.
Некоторые из этих и других великих теорем были даны с полными доказательствами, а некоторые — только сформулированы.
Лекция 6 6.11.1999
Виктор Васильевич ПРАСОЛОВ,
преподаватель Независимого московского университета, автор книги «Задачи по планиметрии» и многих других книг и статей.
Точки Брокара и изогональное сопряжение
Первая точка Брокара треугольника ABC — это такая
Точки X и Y изогонально сопряжены относительно треугольника A1A2A3, если каждая прямая YAi (где
Лекция 7 13.11.1999.
Игорь Федорович ШАРЫГИН,
автор многих книг и статей по геометрии и элементарной математике.
Избранные задачи Соросовских олимпиад
Соросовские олимпиады по математике, физике, химии и биологии проходили в 1994–2000 годах. Лектор возглавлял комиссию по математике.
Лекция 8 27.11.1999.
Владимир Николаевич ЧУБАРИКОВ,
профессор кафедры математического анализа мехмата МГУ.
Арифметика, алгоритмы и сложность вычислений
Целые числа можно рассматривать как с точки зрения их абсолютной величины, так и с точки зрения их делимости на степени фиксированного простого числа (p–адические числа).
Было показано, как эти свойства применяют в диофантовых уравнениях, в теории приближения чисел, геометрии чисел и так далее. Были упомянуты некоторые «быстрые» вычислительные алгоритмы и введённое А.Н. Колмогоровым понятие сложности выполнения арифметических операций.
Были сформулированы некоторые нерешённые задачи теории чисел, которые поставили Хуа Ло-кен, И.М. Виноградов, К. Малер, К. Зигель, А. Сельберг и другие.
Лекция 9 4.12.1999.
Анатолий Александрович ЧАСОВСКИХ,
доцент кафедры математической теории интеллектуальных систем мехмата МГУ.
Где используют графы?
Теория графов — одна из самых красивых и наглядных математических теорий. Многие математические факты удобно формулировать на языке графов. В последнее время теория графов находит всё больше применений и в прикладных вопросах. Об этих применениях и шла речь.
Было рассказано о классических приложениях теории плоских графов, «прямоугольной» задаче Штейнера (построении минимальной сети, соединяющей данные точки между собой), об устройстве интегральных схем, о том, как машину обучают распознаванию образов. Была обсуждена сложность алгоритма, распознающего изоморфизм графов, а также упомянуты другие труднорешаемые задачи.
Лекция 10 11.12.1999.
Игорь Николаевич СЕРГЕЕВ,
доцент кафедры дифференциальных уравнений мехмата МГУ.
Экстраординарные методы решения элементарных задач
Было рассказано о некоторых мощных, но малоизвестных приёмах решения задач элементарной математики. Сами приёмы, хотя и совершенно правильные, на первый взгляд могут показаться абсурдными (не всякий учитель согласится признать их верными в контрольной работе своего ученика!). Использование этих методов позволяет упростить решения многих задач.
Речь шла о методе интервалов, об экзотических равносильных преобразованиях, о наглядных свойствах тригонометрического круга, о нестандартных преобразованиях геометрических чертежей.
Лекции адресована в основном будущим абитуриентам.
Лекция 11 18.12.1999.
Алексей Александрович ЗАСЛАВСКИЙ,
научный сотрудник центрального экономико-математического института (ЦЭМИ РАН), учитель гимназии № 1543.
Теорема Эрроу и нетранзитивные круговые турниры
Существует ли идеальная избирательная система? Можно ли наилучшим образом выбрать квартиру или место работы? Неожиданный ответ на эти и другие вопросы даёт теорема о необходимости диктатора, сформулированная и доказанная американским математиком К. Эрроу. За этот фундаментальный результат он в 1972 году получил Нобелевскую премию по экономике.
Шла речь и о причинах возникновения в спортивных турнирах нетранзитивных ситуаций (когда А побеждает В, В побеждает С, а С побеждает А).
Лекция 12 12.02.2000
Ирина Михайловна ПАРАМОНОВА,
кандидат физико-математических наук, преподаватель Независимого московского университета.
Симметрия в математике
Было рассказано о том, что понимают под симметрией в современной математике и как симметрия помогает решать самые разные задачи. В частности, было объяснено, что такое группа преобразований и её инварианты, а также что такое абстрактная группа и почему это понятие очень важно для всей математики.
Лекция 13 19.02.2000
Вадим Олегович БУГАЕНКО,
кандидат физико-математических наук, доцент университета дружбы народов имени Патриса Лумумбы, составитель сборника задач турниров имени М.В. Ломоносова, преподаватель Независимого московского университета.
Уравнения Пелля
Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени и связаны со многими важными задачами теории чисел. Их решение — непростая задача, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль играет лемма Минковского о выпуклом теле — яркий пример связи алгебры и геометрии.
Основной результат, которому посвящена лекция,— полное описание решений уравнений Пелля.
Лекция 14 26.02.2000.
Борис Сергеевич СТЕЧКИН,
академик Российской Академии Космонавтики.
Некоторые свойства простых чисел
На лекции были изложены некоторые широко известные свойства простых чисел.
Лекция 15 4.03.2000.
Валерий Васильевич ВАВИЛОВ,
доцент МГУ им. М.В. Ломоносова.
Задачи на клетчатой бумаге
Легко доказать, что квадрат является единственным правильным многоугольником, вершины которого — узлы клетчатой бумаги (точки с целыми координатами на плоскости). Сложнее ответить на вопрос, какие равносторонние (или равноугольные) многоугольники можно так разместить, чтобы их вершины оказались в узлах.
Сто лет назад немецкий математик Георг Пик обнаружил замечательную формулу для вычисления площади многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Была показана связь формулы Пика со знаменитой формулой Эйлера, связывающей количества вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.
Расширенный текст лекции опубликован в 2006 году издательством МЦНМО в виде
Лекция 16 11.03.2000.
Юрий Николаевич ТЮРИН,
профессор мехмата МГУ.
Что такое математическая статистика?
Было рассказано о случайных явлениях и о статистической устойчивости, которую они проявляют; о научных открытиях, сделанных статистическими средствами, среди которых закон Хаббла о расширении Вселенной; о математических моделях, принятых для изучения случайностей; о способах измерения вероятностей событий и других характеристик случайных явлений; о статистических методах проверки гипотез.
Лекция 17 18.03.2000
Виктор Валентинович ОСТРИК,
аспирант Независимого московского университета.
Площади прямоугольных треугольников и эллиптические кривые
Вы узнаете о пифагоровых тройках, нормальной форме Вейершрасса для уравнения третьего порядка, о сложении точек эллиптической кривой, теореме Морделла и многих других важных и интересных понятиях и теоремах арифметики и алгебры. Один из самых интересных вопросов — какие числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми сторонами? При всей простоте постановки этого вопроса ответ на него неизвестен. Точнее, есть удивительный критерий Таннелла, справедливость которого не доказана.
Лекция 18 1.04.2000.
Юлий Сергеевич ИЛЬЯШЕНКО,
профессор, ректор Независимого московского университета, вице-президент Московского математического общества.
Индекс векторного поля и основная теорема алгебры
Индекс векторного поля — одно из первых понятий топологии — науки о геометрических свойствах фигур, сохраняющихся, если на них смотреть в кривое зеркало или сделать их из резины.
Было рассказано, что такое индекс, и с его помощью была доказана основная теорема алгебры, утверждающая, что каждый многочлен имеет хотя бы один комплексный корень. Кстати, о комплексных числах тоже было рассказано. В заключение была объяснена связь индекса с эйлеровой характеристикой поверхности.
Лекция 19 8.04.2000
Иван Валерьевич ЯЩЕНКО,
директор МЦНМО, учитель школы № 57.
Парадоксы теории множеств
При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея: «Бреет ли себя тот брадобрей, который бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет?»
Было рассказано, как теория множеств обходится с подобными cитуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора.
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! |
 
|
 
|
 
|