МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Весенний математический бой

1.

Докажите, что если x² + y² делится на x + y, то и x⁴ + y⁴ делится на x + y (естественно, x и y — натуральные числа).

2.

Вы предлагаете кому-нибудь задумать двузначное число и сказать Вам остатки от деления этого числа на 3, 5 и 7. Как по этим данным отгадать задуманное число?

3.

Шарик бросают из точки A внутри острого угла. Под каким углом к стороне его нужно бросить, чтобы он, два раза ударившись о стороны угла, вернулся в исходную точку? (Угол падения равен углу отражения; углы α и β даны.)

4.

На бесконечный конус наматывается нерастяжимая лента так, что она плотно прилегает к его поверхности и не покрывает вершины конуса. Может ли лента совершить бесконечное число оборотов?

5.

На чертеже изображена проекция Земли (сферы) с экватором. Постройте точку северного полюса.

6.

Можно ли квадрат разрезать на три квадрата (не обязательно одинаковых)?