МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 20. Комбинаторика

1.

Имеется n стульев, стоящих в ряд, и n различных людей, которые могут сидеть на этих стульях. Сколькими различными способами их можно рассадить по стульям? Это число перестановок из n элементов — P_n.

2.

Имеется n стульев, стоящих в ряд, и m различных людей (m ≤ n), которые могут сидеть на этих стульях. Сколькими различными способами их можно рассадить по стульям? Это число размещений из n элементов по m — A_n^m.

3.

Имеется n стульев, стоящих в ряд, и m людей (m ≤ n), которые могут сидеть на этих стульях. Предположим, что эти люди одинаковы. Сколькими различными способами их можно рассадить по стульям? Это число сочетаний из n элементов по m — C_n^m.

4.

Имеется n различных шаров. Сколькими способами можно выбрать из них группу из m шаров, чтобы все группы были разными? Порядок шаров в группе не играет роли.

5.

Сколько пятизначных чисел можно записать цифрами 0, 1, 2, 3, 4 без повторений?

6.

Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых используются лишь цифры 0, 1, 2, 3, 4 (возможно с повторениями)?

7.

Сколько существует пятизначных чисел, записываемых цифрами 0, 1, 2, 3, 4 без повторений, таких, что их центральная цифра является четной (0, 2 или 4)?

8.

Сколько существует трехзначных чисел без повторяющихся цифр?

9.

Семь девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?

10.

Сколько ожерелий можно составить из семи различных бусинок?

11.

Дана прямоугольная сетка, стороны квадратиков которой равны 1.

а)

Сколькими способами можно попасть из точки O(0;0) в точку Q(m;n) (см. рисунок), если можно двигаться лишь вправо и вверх по отрезкам сетки?

б)

сколько из этих путей проходят через точку R(r;s)?