МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 1. Деление с остатком

1.

Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4 дает остаток 1.

2.

Число a — чётное. Может ли остаток от деления числа a на 6 быть равным 1? 3?

3.

Число a кратно 3. Может ли остаток от деления числа a на 12 быть равным 2?

4.

Напишите общий вид чисел, кратных 3 и дающих при делении на 4 остаток 1.

5.

Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 1, а при делении на 5 дают остаток 3.

6.

Известно, что число a при делении на 5 дает остаток 2, а при делении на 3 — остаток 1. Найдите остаток от деления числа a на 15.

7.

Известно, что число a при делении на 5 дает остаток 1, а при делении на 3 дает в остатке 2. Найдите остаток от деления числа a на 15.

8.

Известно, что число a при делении на 3 дает остаток 1, а при делении на 4 — остаток 3. Найдите остаток от деления числа a на:

a)

12;

b)

6.

9.

Существует ли такое целое число, которое при делении на 12 дает остаток 11, а при делении на 18 — остаток 1?

10.

Найти наименьшее из всех тех чисел, которые при делении
на 2 дают в остатке 1,
на 3 дают в остатке 2,
. . . . . . . . . . . . . . . .
на 9 дают в остатке 8.

11.

Пересчитав сложенные в кучу яблоки, первый прохожий обнаружил, что если 1 яблоко отдать мартышке, то число оставшихся яблок разделится на n без остатка. Отдав лишнее яблоко мартышке, он взял себе 1/n оставшихся яблок и ушел. Каждый следующий прохожий, пересчитав яблоки, замечал, что их число при делении на n дает остаток 1 и, отдав мартышке лишнее яблоко, он забирал себе 1/n оставшихся яблок и шел дальше. После того как ушел последний, n-й прохожий, число яблок, оставшихся в куче, делилось на n без остатка. Сколько яблок было в куче сначала и сколько осталось в конце?