МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 11. Математическая индукция

1.

Докажите, что для любого натурального n:

а)

1 + 2 + … + n = ½ n(n + 1);

б)

1 + 3 + … + (2n − 1) = n²;

в)

1² + 2² + ... + n² = ¹/₆ n(n + 1)(2n + 1).

2.

Докажите, что при любом натуральном n:

а)

n³ + 5n кратно 6;

б)

n³ + 9n² + 26n + 24 кратно 6;

в)

7²ⁿ − 1 кратно 24;

г)

13ⁿ + 5 кратно 6;

д)

15ⁿ + 6 кратно 7.

3.

Последовательность {a_n} задана рекуррентно: a₁=3, a_{n + 1} = 7a_n + 3. Докажите, что a_n = ½(7ⁿ − 1).

4.

Последовательность {a_n} задана рекуррентно: b₁=4, b_{n + 1}=3b_n − 2. Выразите b_n через n.

5.

Последовательность {c_n} задана рекуррентно: c₁=6, c_{n + 1}=2c_n − 3n + 2. Докажите, что c_n=2ⁿ + 3n + 1.

6.

Последовательность {в_n} задана рекуррентно: d₁=7, d₂=27, d_{n + 2}=6d_{n + 1} − 5d_n. Найдите d_n.

7.

Пусть пары чисел (a₁,b₁), (a₂,b₂), ..., (a_n,b_n), ... образуются по закону

Докажите, что