МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9 класса

Листок 19. Задачи на максимум и минимум

1.

На какие а) две части, б) n частей нужно разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

2.

Найдите, при каких значениях x и y выражение x^p y^q имеет наибольшее значение, если x + y = a.

3.

Докажите, что сумма а) двух, б) нескольких чисел, произведение которых неизменно, становится наименьшей, когда эти числа равны.

4.

Когда произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим?

5.

Пусть x₁ < x₂ < ... < x_n. Найдите такую точку x на числовой прямой, что сумма расстояний от x до x_i принимает наименьшее значение.

6.

а) Пусть a₁ ≤ a₂ и b₁ ≤ b₂. Докажите, что a₁ b₁ + a₂ b₂ ≥ a₁ b₂ + a₂ b₁. б*) Пусть a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n и b₁ ≤ b₂ ≤ ... ≤ b_n. Докажите, что среди всех сумм попарных произведений a_i b_j, в которых каждое a_i и каждое b_j участвует ровно один раз, наибольшее значение имеет сумма a₁ b₁ + a₂ b₂ + ... + a_n b_n.

7*.

(задача по геометрии) Найдите наименьшее значение выражения .

8.

Докажите, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

9.

Дана прямая l и две точки A и B, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой l. Найдите такую точку X на прямой l, что AX + BX принимает наименьшее значение.

10.

Луч света, идущий из точки A, приходит в точку B, отразившись от плоского зеркала (рис. 1). Докажите, что, подчиняясь закону отражения (угол падения равен углу отражения), луч выбирает кратчайший путь.

Рис. 1

11.

В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, на расстоянии d от него, лежит посёлок B (рис. 2). Где надо устроить полустанок C, чтобы проезд от A по железной дороге AC и по шоссе CB отнимал как можно меньше времени? Скорость движения по железной дороге равна v₁, а по шоссе — v₂, v₁ > v₂.

рис. 2

12*.

(задача Ферма--Торричелли) Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного треугольника является наименьшей.

13*.

(задача Фаньяно) Дан остроугольный треугольник ABC. Для каких точек K, L и M, лежащих на стронах BC, AC и AB соответственно, периметр треугольника KLM принимает наименьшее значение?

14*.

(задача Дидоны) Докажите, что из всех фигур с заданной длиной границы наибольшей площадью обладает круг.