МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9 (19.11.2011). Простые и составные числа

1.

Являются ли простыми числа а) 11; б) 91; в) 713; г) 2011?

Ответ

Ответ. a),г): да; б),в): нет(91 = 7·13, 713 = 23·31).

2.

Найдите все простые числа, которые отличаются друг от друга на 17.

Ответ Решение

Ответ. 2 и 19.

Решение. Заметим, что эти два числа разной четности, т.е. одно из них четное. Но 2 — единственное четное простое число. Тогда второе число — это 2 + 17 = 19.

3.

Число умножили на его сумму цифр и получили 2008. Найдите все такие числа.

Ответ Решение

Ответ. 251.

Решение. Разложим число 2008 на простые множители: 2008 = 2³·251. Т.к. число, у которого считали сумму, меньше 2008, то его сумма цифр не больше 9·3 + 1 = 28. Значит, сумма цифр это 1,2,4 или 8. Подходит только вариант с суммой 8: 251·(2 + 5 + 1) = 251·8 = 2008.

4.

Выпишите все простые числа, не превосходящие 100.

Ответ

Ответ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 —всего 25 чисел.

5.

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше 1. Сколько в доме этажей, если в нём 105 квартир?

Ответ Решение

Ответ. 7 этажей.

Решение. Пусть в доме p подъездов, e этажей и на каждом этаже k квартир. Тогда p·e·k = 105 = 3·5·7. Поскольку e > k > p > 1, e = 7.

6.

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a×b см, где a и b — целые числа, причём a меньше b. Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно. a=1, b=3.

Решение. Если из картонок a×b можно сложить прямоугольник c×d, то cd делится на ab. Значит, 49·51 = 3·7²·17 делится на ab и 99·101 = 3²·11·101 делится на ab. Поэтому ab = 1 или ab = 3. Воспользуемся условием a < b, откуда первый вариант не подходит, а во втором получаем a=1, b=3. То, что из прямоугольников 1×3 можно сложить прямоугольник, у которого одна из сторон делится на 3, очевидно.

7.

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 — простое число или единица.

Решение

Решение. Предположим, что получился составной остаток. Тогда у него есть делитель равный произведению двух простых (не обязательно различных). (Случай нулевого остатка очевидно невозможен.) Если остаток будеть иметь общий простой делитель p < 30 с числом 30, то и исходное число будет делится на p. Это означает, что исходное число либо и есть p, либо делится (но не равно) на 2,3 или 5, откуда следует, что оно не может быть простым. Значит, оба простых делителя больше 5, тогда остаток хотя бы 7·7 = 49 > 30, чего также не может быть, значит, наше предположение неверно, и остаток — простое число, либо единица.

8.

Существует ли самое большое простое число?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не существует.

Решение. Предположим, что простых чисел конечное число. Пусть p₁, ..., p_n — все простые числа. Тогда рассмотрим число P = p₁p₂...p_n + 1. Число P не делится ни на одно из чисел p₁, ..., p_n. Значит, в разложении его на простые числа будет новое простое число. Т.е. наше предположение неверно, и простых чисел бесконечно много.