МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 12 (10.12.2011). Дроби

1.

Что больше

2010

2011

или

2011

2012

?

Ответ Решение

Ответ.

2011

2012

больше.

Решение. Заметим, что первая дробь меньше числа 1 на

1

2011

, а вторая — на

1

2012

. Поскольку

1	>	1	,
2011		2012

то вторая дробь больше.

2.

Юра хочет тратить ¹/₃ своего времени на игру в футбол, ¹/₅ — на учёбу в школе, ¹/₆ — на просмотр фильмов, ¹/₇₀ — на решение олимпиадных задач и ¹/₃ — на сон. Возможно ли это?

Ответ Решение

Ответ. Нет.

Решение. Сложим все дроби из условия. Получим:

1	+	1	+	1	+	1	+	1	=	2	+	11	+	1	=	31	+	1	>	1,
3		5		6		70		3		3		30		70		30		70

что невозможно.

3.

Из спичек сложено неверное равенство. Переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

Решение

Решение.

4.

Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка — 2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка — 2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

Ответ Решение

Ответ. 700 золотых монет.

Решение. За книгу «Три поросёнка — 2» каждый автор должен получить четверть гонорара. Но так как Наф-Наф свою долю уже забрал, Волку причитается ¹/₃ остатка. За книгу «Красная шапочка — 2» ему также полагается ¹/₃ гонорара. Поэтому всего он должен получить треть переданной ему суммы.

5.

Какое число нужно вычесть из числителя дроби ⁵³⁷/₄₆₃ и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ¹/₉?

Ответ Решение

Ответ. 437.

Решение. Пусть искомое число — это a. Тогда

537 − a	=	1	, 537·9 − 9a = 463 + a, 4370 = 10a, a = 437.
463 + a		9

6.

На острове ²/₃ всех мужчин женаты и ³/₅ всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Ответ Решение

Ответ. ¹²/₁₉.

Решение. Пусть 2m человек состоят в браке, тогда мужчин

m	:	2	=	3	m
		3		2

, а женщин

m	:	3	=	5	m
		5		3

. Т.к. всего жителей острова

(	3	+	5	) m	=	19	m
	2		3			6

, и из них 2m состоят в браке, то в браке состоит ¹²/₁₉ жителей острова.

7.

Докажите, что дробь ¹/_n можно представить в виде конечной десятичной дроби только в том случае, если n в разложении на простые множители содержит только двойки и пятёрки.

Решение

Решение. Если число n в разложении на простые содержит только двойки и пятерки, то числитель и знаменатель можно домножить на натуральное число так, чтобы знаменатель стал степенью десятки. Тогда такая дробь, очевидно, представляется в виде конечной десятичной. Предположим, что дробь из условия можно представить в виде конечной десятичной. Тогда

1	=	a
n		10k

Тогда 10^k = na, а, значит, n содержит только двойки и пятерки.

8.

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу, и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечетным знаменателем.

Решение

Решение. Возьмем дробь со знаменателем, содержащей двойку в наибольшей степени: ^a/₆₄. Тогда одно из чисел a − 32, a + 32 попадает в интервал от 1 до 100. Обозначим его за b, а дробь ^b/_c. Посмотрим, что произойдет, если поменять числители b и a местами. Сумма изменится на

1	−	32
2		c

. Но тогда прибавив (или вычтя) к дроби со знаменателем 2 дробь ¹/₂, после сокращения получим дробь с нечетным знаменателем. Ну, а вычтя (или прибавив) дробь ³²/_c, которая после сокращения является дробью с нечетным знаменателем, получим снова дробь с нечетным знаменателем.