МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 1 (24.09.2011). Можно или нельзя

1.

Можно ли из 4 палочек длины 1 см, 4 палочек длины 2 см, 7 палочек длины 3 см и 5 палочек длины 4 см сложить прямоугольник? (Использовать нужно все палочки, разламывать их нельзя.)

Ответ Решение

Ответ. Нет, нельзя.

Решение. Поскольку палочки ломать нельзя, то каждая сторона прямоугольника измеряется целым числом сантиметров. Но тогда т.к. каждая сторона прямоугольника в его периметре участвует дважды, периметр выражается четным числом сантиметров. Посчитаем периметр: 4·1 + 4·2 + 7·3 + 5·4 = 4 + 8 + 21 + 20 = 53 — нечетное число. Значит, такого быть не могло.

2.

На День рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Петя, Соня и Тимур. Можно ли всех восьмерых ребят рассадить за круглый стол так, чтобы у любых двух, рядом сидящих, в именах встречались одинаковые буквы?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Можно посадить детей так: Вася → Даша → Андрей → Глеб → Петя → Тимур → Митя → Соня.

3.

У Гоши есть 8 монет и 4 кармана. Сможет ли он так разложить монеты по карманам, чтобы во всех было разное количество монет?

Ответ Решение

Ответ. Да, сможет.

Решение. Он может в первый карман положить 0 монет, во второй — 1, в третий — 2 и в четвертый — 5 монет.

4.

Учительница написала на доске дробь ¹⁰/₉₇ и разрешила ученикам: прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно; умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Смогут ли дети с помощью этих действий получить дробь, равную а) ¹/₂; б) 1?

Ответ Решение

Ответ. В «а)» смогут, в «б)» не смогут.

Решение. а) Умножим числитель и знаменатель на 2, получим дробь ²⁰/₁₉₄. Теперь прибавим к числителю и знаменателю число 154, получим дробь ¹⁷⁴/₃₄₈ = ¹/₂.
б) Заметим, что исходная дробь меньше 1 и при указанных действиях из дроби, меньшей 1, не может получится дробь, большая или равная 1.

5.

В клетках квадратной таблицы 10×10 расставлены цифры. Из цифр каждого столбца и каждой строки составили 10-значные числа — всего получилось 20 чисел. Может ли так быть, что из них ровно 19 делятся на три?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не может.

Решение. Воспользуемся следующим фактом: число дает тот же остаток при делении на три, что и сумма его цифр. Вычислим остаток суммы всех цифр, стоящих в таблице, при делении на три. Так как ровно 19 чисел делятся на 3, то либо все строки делятся на 3, либо все столбцы делятся на 3. Будем считать, что все строки делятся на 3. Тогда сумма цифр в каждой строке делится на 3, а, значит, и сумма всех цифр в таблице делится на 3. Суммируя все цифры по столбцам, получим, что сумма всех цифр в таблице не делится на 3. Значит, такого не может быть.

6.

Егор задумал натуральное число, перемножил все его цифры и результат умножил на задуманное число. Могло ли у него получиться 1716?

Ответ Решение

Ответ. Да, могло.

Решение. Пусть Егор написал число 143. Тогда после того, как Егор умножит его на каждую его цифру, он получит 143·1·4·3 = 1716.

7.

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках — разным?

Ответ Решение

Ответ. Да, можно.

Решение. Можно расставить, например, так: