МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Лёша нарисовал на доске три параболы. Таня утверждает, что уравнения этих парабол y = ax² + bx + c, y = bx² + cx + a, y = c² + ax + b в каком-то порядке. Может ли это быть правдой при некоторых a, b и c?
 

Известно, что c(a + b + c) < 0. Докажите, что уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни.
 

Существуют ли четрые таких квадратных трёхчлена, что, записав их в любом порядке, мы сможем найти число, при подстановке которого в эти трёхчлены полученные значения будут записаны в строго возрастающем порядке?
 

Известно, что f(x) и g(x) — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f(g(x)) = 0 иметь корни 1, 4, 9, 16?
 

а) Графики функций y = x² – 2003 и y = 5x пересекаются в точках А и В. Найдите координаты середины отрезка АВ.
б) Пусть теперь изображена парабола y = x², но координатные оси не нарисованы. С помощью циркуля и линейки постройте какую-нибудь прямую, параллельную оси параболы.
в) В условиях предыдущей задачи восстановите координатные оси.
 

а) Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой и данной точки, не лежащей на этой прямой, всегда является параболой. Эти прямая и точка называются директрисой и фокусом параболы соответственно.
б) Пусть парабола задана уравнением y = ax² + bx + c. Найдите её директрису и фокус.
 

Нарисованы директриса и фокус параболы, а сама парабола не нарисована. Нарисован также некоторый круг. С помощью циркуля и линейки определите, пересекает ли парабола круг, и, если да, постройте хотя бы одну их общую точку.