МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Среди 30 человек каждому нравятся ровно k других, однако среди них нет двух человек, которые нравятся друг другу. Какое максимальное значение может принимать k?
 

В треугольнике АВС проведены высоты АН и ВК. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку НК делит сторону АС пополам.
 

Представьте число 1 в виде суммы а) трёх; б) четырёх; в) пяти; г) n, где n > 2, различных дробей с числителем 1.
 

В классе 25 человек. У всех, кроме Лилии, разное число друзей среди её одноклассников. Сколько друзей-одноклассников у Лилии?
 

Диаметром многоугольника называют наибольшее расстояние между его вершинами. Можно ли квадрат со стороной 1 разбить на 3 многоугольника, диаметр каждого из которых меньше 1?
 

В стране Оз города соединены дорогами. Правитель решил ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы из любого города можно было выехать, но нельзя было вернуться обратно. Сумеет ли он это осуществить?
 

Элементы множества А — натуральные числа, причём для любых двух различных чисел a и b из А выполнено неравенство 10|a - b| > ab. Какое наибольшее число элементов может быть в А?
 

Петя выписывает числа в ряд. Вначале он написал 1, затем — 2, а каждое следующее число он получает из предыдущего прибавлением к нему его наибольшего простого делителя (а именно, третье число равно 2 + 2 = 4, четвёртое равно 4 + 2 = 6, и так далее). Сколько чисел выписано между а) 47² и 53²; б) p² и q², где p и q — соседние простые числа? в) Какое число стоит на 3999-м месте?