МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Докажите, что в бесконечной последовательности попарно различных натуральных чисел, больших единицы, найдётся бесконечное количество чисел, которые больше своего номера в этой последовательности.
 

а) Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001! + 1001).
б) Cуществуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно 5 простых чисел?
 

a₁, a₂, a₃, ... — монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что a_ak = 3k для любого k. Найдите значение a₁₀₀.
 

Существуют ли такие натуральные числа a₁ < a₂ < a₃ < ... < a₁₀₀, что НОК(a₁,a₂) > НОК(a₂,a₃) > ... > НОК(a₉₉,a₁₀₀)?

Рассмотрим последовательность слов из букв А и В. Первое слово — «А», второе — «В», k-е слово получается приписыванием к (k - 2)-му слову справа (k - 1)-го (так что начало последовательности имеет вид: «А», «В», «АВ», «ВАВ», «АВВАВ», ...). Может ли в этой последовательности встретиться периодическое слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них? (Например, слово «ВАВВВАВВ» — периодическое, а слово «АВАВВВАВВ» — нет.)
 

Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них не менее k прямоугольников.