МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17

1.

Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как её зовут?

2.

В числе 314159265358979 зачеркните 7 цифр так, чтобы осталось как можно большее число.

3.

Открытка стоит целое число копеек. Девять таких открыток стоят меньше десяти рублей, а десять таких же открыток стоят больше одиннадцати рублей. Сколько стоит открытка?

4.

Число x натуральное. Среди утверждений 2x > 70, x < 100, 3x > 25, x ≥ 10 и x > 5 три верных и два неверных. Найдите x.

5.

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединён с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединён с шестью другими, и 3 телефона, каждый из которых соединён с пятью другими?

6.

Семья Васи приехала на дачу на машине в 16:00. Если бы скорость, с которой они ехали, была на 25% больше, то они приехали бы в 14:30. В какое время они выехали из дома?

7.

Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b, c. Иван-Царевич должен назвать ему три числа X, Y, Z, после чего Кащей сообщит ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Как ему спастись?

8.

Муха сидит на внешней поверхности цилиндрического стакана. Ей надо перебраться в другую точку, лежащую на внутренней поверхности стакана. Найдите кратчайший путь мухи (толщиной стакана пренебречь).

9.

Куб пересечён плоскостью. На развертке пунктиром показана часть следа этого сечения на поверхности куба. Какая фигура была в сечении?

10.

Найдите последнюю цифру числа 7⁷⁷.

Дополнительные задачи

11.

На плоскости дано 25 точек. Известно, что из любых трех точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Докажите, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

12.

а)

Докажите, что p² − 1 делится на 24, если p — простое число и p > 3.

б)

Докажите, что p² − q² делится на 24, если p и q — простые числа, большие 3.

13.

Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1024. Кто выигрывает при правильной игре и как играть чтобы выиграть?

14.

По кругу расставлено 9 чисел — 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?