МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Весенний математический бой

1.

В конце четверти Вовочка выписал подряд свои текущие отметки по алгебре и поставил между некоторыми из них знак умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 2007. Какая оценка выходит у Вовочки по алгебре в четверти? (,,Колов'' учитель не ставит.)

2.

В детском саду каждая тарелка украшена пятью розочками (по кругу); розочки бывают трёх цветов; все тарелки имеют различный рисунок. Какое наибольшее число тарелок может быть в этом детском саду?

3.

Дан параллелограмм ABCD. На прямых AB и BC выбраны точки H и K соответственно. KA = AB и HC = CB. Докажите, что треугольник KDH — равнобедренный.

Решение

Решение. CD = AB = KA, AD = BC = CH (т.к. ABCD — параллелограмм). ∠KAD = ∠AKB, ∠DCH = ∠CHB как накрест лежащие углы. ∠AKB = ∠KBA = ∠CHB как углы при основаниях равнобедренных треугольников. Итак, ∠KAD = ∠DCH, CD = KA, AD = CH. Треугольники KAD и DCH равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому KD = DH, что и требовалось.

4.

Какое наибольшее число точек можно разместить в круге радиуса 1 (включая границу) так, чтобы попарные расстояния между ними были равны [не больше] 1?

5.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Ответ Решение

Ответ. 2:1.

Решение. Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника ABC. Пусть H — ортоцентр (точка пересечения высот) ΔABC. Опишем около ΔABC окружность и продолжим высоты до пересечения с ней. Пусть высоты AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются с этой окружностью в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. По свойству вписанного угла ∠ACB₂ = ∠B₂BA. ∠B₁HC = ∠C₁HB как вертикальные, откуда ∠C₁BH = ∠CHB₁. Итак, ∠B₁CB₂ = ∠B₂BA = ∠B₁CH. В треугольнике B₂CH отрезок CB₁ является одновременно высотой и биссектрисой. Значит, это равнобедренный треугольник, и CB₁ есть его медиана, то есть B₂B₁ = B₁H. По той же причине A₂A₁ = A₁H и C₂C₁ = C₁H. Отсюда следует, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны с коэффициентом 2. Поэтому радиус описанной окружности ΔA₁B₁C₁ относится к радиусу описанной окружности ΔA₂B₂C₂ (она же описанная окружность ΔABC) как 1:2.

Случай прямоугольного треугольника вырожден и тривиален, а случай тупоугольного сводится к остроугольному, если поменять местами вершину тупого угла и ортоцентр.

6.

Точка O лежит в основании пирамиды SA₁...A_n, причём SA₁ = ... = SA_n и ∠S₁O = ... = ∠S_nO. При каком наименьшем n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?