МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Руководители Иван Александрович Дорофеев и Степан Львович Кузнецов
2006/2007 учебный год

Листок 7. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса.

1.: Пусть 2c — расстояние между фокусами, 2a — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов. Введите декартову систему координат Oxy так, чтобы фокусы F₁ и F₂ имели координаты F₁(−c, 0) и F₂(c, 0), и докажите, что в ней уравнение эллипса имеет вид: ^x²/_a² + ^y²/_b² = 1, где b² = a² − c².
2.: Лестница PQ, стоявшая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок M, сидящий на расстоянии a от конца P лестницы и на расстоянии b от конца Q?
3.: На координатной плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами a и b (a > b). Из точки O провели луч, пересекающий окружности в точках K и L. Затем через точку K провели прямую, параллельную оси Ox, а через точку L — прямую, параллельную оси Oy. Пересечение этих прямых определяет точку M. Какую кривую образуют полученные точки M?

Определение. Касательной к эллипсу в точке M называется прямая, не имеющая с эллипсом общих точек кроме точки M.

4.: Докажите, что касательная к эллипсу с фокусами F₁ и F₂ в точке M является биссектрисой внешнего угла треугольника F₁F₂M.
5.: Докажите, что луч света, выпущенный из фокуса эллиптического зеркала, после отражения пройдёт через другой фокус.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!