МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 9-10 класса

Листок 13. Многочлены

1.

Докажите, что если x₀ — корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x − x₀).

2.

Докажите теорему Безу: остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x − a) равен значению многочлена P(x) при x=a.

3.

Докажите, что если многочлен P делится на многочлен Q, то все корни Q являются корнями P. Верно ли обратное утверждение?

4.

Докажите, что многочлен степени n имеет не более n корней.

5.

а)

Докажите, что для любых a₀, ..., a_{n − 1} существует такое число C, что при всех x > C верно неравенство xⁿ > a_{n − 1} x^{n − 1} + a_{n − 2} x^{n − 2} + ... + a₁ x + a₀.

б)

Докажите, что любой многочлен нечётной степени имеет действительный корень.

6.

(теорема Виета)

а)

Пусть квадратный трёхчлен a(x) = x² + px + q разкладывается на линейные множители: a(x) = (x − x₁)(x − x₂). Докажите формулы Виета: x₁ + x₂ = − p, x₁ x₂ = q.

б)

Пусть кубический четырёхчлен b(x) = x³ + px² + qx + r раскладывается на линейные множители: b(x) = (x − x₁)(x − x₂) (x − x₃). Докажите, что x₁ + x₂ + x₃ = − p, x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = q, x₁x₂x₃ = − r.

в*)

Выведите аналогичные формулы для многочлена произвольной степени, раскладывающегося на линейные множители.

7.

Пусть многочлен P таков, что для всех x P(x) = P( − x). Может ли P содержать нечётные степени x?

8.

Пусть значения многочленов P и Q совпадают при n различных значениях переменной, и степени этих многочленов меньше n. Докажите, что тогда P = Q.

9.

Докажите, что для любых различных чисел a₁, ..., a_n и для любых чисел b₁, ..., b_n существует единственный многочлен P(x) степени меньше n, такой что P(a₁) = b₁, ..., P(a_n) = b_n (этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа).

10.

Найдите суммы всех коэффициентов следующих многочленов: а) (x − 1)¹⁰⁰⁰, б) x(x + 1)(x + 2)... (x + 2007).

11.

Упростите выражение: (x − a)(x − b) ... (x − z).