МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Одиннадцать шестерёнок сцеплены по кругу: первая — со второй, вторая с третьей, ..., последняя — с первой. Могут ли они вращаться одновременно?
 

Как изменится а) площадь; б) периметр прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10%, а другую уменьшить на 10%?
 

Пароход вниз по реке идёт от A до B трое суток, а от В до А — пять суток. Сколько времени будут плыть плоты от А до В?
 

На доске написаны первые 10 натуральных чисел. Разрешено стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b – 1.
а) Сколько раз нужно проделать такую операцию, чтобы на доске осталось одно число?
б) Можно ли наверняка сказать, что это за число?
 

В двух сосудах находится по 1 л воды. Из 1-го сосуда переливают половину имеющейся в нём воды во 2-й сосуд, затем из 2-го переливают треть имеющейся в нём воды в 1-й, затем из 1-го переливают четверть имеющейся в нём воды во 2-й, и так далее. Сколько воды окажется в каждом сосуде после 100 переливаний?
 

Коля и Вася по очереди ломают шоколадку 4×8. Начинает Коля, за ход любой из кусков ломается по прямой (вдоль углубления) на 2 куска. Выигрывает тот, кто сделал последний разлом. Кто из ребят выиграет?
 

Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме а) углового; б) центрального кубика?
 

В треугольнике отметили середины всех его сторон, после чего треугольник стёрли, оставив только отмеченные точки. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
 

Улитка ползёт из точки А с постоянной скоростью, поворачивая на 90° в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов.
 

В поле проходит прямая дорога, по ней со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки поля, из которых можно догнать автобус, если бежать с той же скоростью.

Дополнительные задачи

Лежат k пятаков, касаясь друг друга. Ещё один пятак прокатывается по их внешней стороне, касаясь их по очереди. Сколько оборотов он сделает, вернувшись в исходное положение, если а) k = 1; б) k = 2; в) k = 3?
 

Три одинаковые банки с тремя разными красками наполнены на две трети каждая. Есть возможность переливать любую часть жидкости из одной банки в другую (краски, оказавшиеся в одной банке, равномерно перемешиваются). Как сделать во всех банках одинаковую смесь? (Другой посуды нет, выливать краску нельзя.)