МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

О некотором числе высказаны следующие утверждения:

• это число простое;
• это число 9;
• это число чётное;
• это число 15.

а) Из 9 монет одна фальшивая (легче других). Можно ли за два взвешивания на чашечных весах определить фальшивую монету?

б) Сколько взвешиваний понадобится, если монет 27?
 

— У Димы больше тысячи книг!
— Да нет, у него меньше тысячи книг.
— Ну, уж одна-то книга у него есть.
Известно, что среди этих утверждений лишь одно верное. Сколько книг может быть у Димы?
 

На полке есть вазы разного цвета и разной формы. Докажите, что найдутся две вазы, отличающиеся и по цвету, и по форме.
 

Есть 10 мешков с монетами (в каждом по 100 монет). Один из них целиком заполнен фальшивыми монетами, которые на 1 грамм легче остальных. За одно взвешивание на чашечных весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, определите фальшивый мешок.
 

Штирлиц вымазал во сне сажей лбы Гиммлеру, Борману и Мюллеру. Когда они проснулись, сразу стали смеяться друг над другом. Внезапно Мюллер перестал смеяться, поняв, что его лоб тоже вымазан. Как он догадался?