Избранные задачи домашних олимпиад
Часть II

308.  

На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
 

309.  

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые) суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь принимают в отношении 1 : 4. Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому её не надо рассматривать.)
 

310.  

Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?
 

311.  

а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?
в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
 

312.  

Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий) составить квадрат.
 

313.  

Если от некоторого двузначного числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если отнять не 2, а 3, то разделится не на 3, а на 2. Если к этому числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё: если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7. Что же это за число?
 

314.  

Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
 

315.  

а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились 3 врача и 1996 пациентов. Комиссия попросила каждого указать двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла выявить хотя бы одного пациента.

б) В Конторе работают 200 психически здоровых и 1999 сумасшедших сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку, в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению, сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.

 
316.  

По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда. Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы на 1/5?
 

317.  

В одной из трёх комнат сидит принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты, где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса, а где — тигр?
 

318.  

Разрежьте изображённую на рисунке фигуру на а) четыре; б) пять одинаковых частей. (Резать можно не только по сторонам и диагоналям клеток.)


 

319.  

Представьте число 203 в виде суммы нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже равно 203.
 

320.  

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных чисел делилась на 26?