308.
|
На какое наименьшее число частей надо разрезать торт, чтобы его можно было раздать поровну как троим, так и четверым?
|
309.
|
В скачках участвуют три лошади.
Игрок может поставить некоторые (не обязательно одинаковые)
суммы денег на каждую из них. Ставку на первую лошадь
принимают в отношении 1 : 4.
Это означает, что если первой прибежит первая лошадь, то игрок теряет
деньги, поставленные на вторую и третью, но ему возвращают
деньги, поставленные на первую, и ещё четыре раза по столько же.
На вторую лошадь ставки принимают в отношении 1 : 3, а на
третью — 1 : 1. Можно ли поставить деньги
так, чтобы выиграть при любом исходе скачек? (Разумеется, считайте, что
хотя бы одна лошадь прибегает первой: ситуация, когда ни одна из лошадей
не достигает финиша, очевидно проигрышная для игрока и поэтому
её не надо рассматривать.)
|
310.
|
Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник,
являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника?
|
311.
|
а) Конь вышел с некоторого поля шахматной доски и через
несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал
чётное число ходов.
б) Из шахматной доски выпилено угловое поле. Может ли конь
обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на
исходное поле?
в) Может ли конь пройти из левого нижнего угла шахматной доски в
правый верхний, побывав на каждом поле ровно один раз?
|
312.
|
Крест составлен из пяти равных квадратов. Разрежьте
его на такие части, из которых можно (без дыр и перекрытий)
составить квадрат.
|
313.
|
Если от некоторого двузначного
числа отнять 2, то результат разделится нацело на 3, а если
отнять не 2, а 3,
то разделится не на 3, а на 2. Если к этому
числу прибавить 4, то результат разделится нацело на 5, а если
от него отнять 5, то разделится на 4. Более того, если от этого
числа отнять 5, то разделится нацело на 6, а если же от
нашего числа отнять 6, то разделится на 5. И это ещё не всё:
если к этому замечательному числу прибавить 7, то результат
разделится на 8, а если прибавить 8, то разделится на 7.
Что же это за число?
|
314.
|
Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и
произведение равны 20.
|
315.
|
а) Когда комиссия приехала в больницу, там находились
3 врача и 1996 пациентов.
Комиссия попросила каждого указать
двух врачей. Каждый врач назвал двух других врачей, а пациенты
называли кого угодно. Докажите, что комиссия смогла
выявить хотя бы одного пациента.
б) В Конторе работают 200 психически здоровых и
1999 сумасшедших
сотрудников. Однажды каждый сотрудник написал докладную записку,
в которой перечислил 1999 своих коллег, по его мнению,
сумасшедших. Каждый психически здоровый сотрудник верно указал
всех сумасшедших, а каждый сумасшедший мог указать на кого
угодно, кроме себя. Докажите, что на основании этих данных
можно выявить по крайней мере 199 сумасшедших.
|
316.
| По кольцевой линии метро курсируют 24 поезда.
Они идут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными
интервалами. Сколько поездов надо добавить, чтобы при
той же скорости уменьшить интервалы на 1/5?
|
317.
|
В одной из трёх комнат сидит
принцесса, в другой — тигр, а в третьей нет никого. На двери
левой комнаты написано: «Тигр в правой комнате», на двери
средней: «Левая комната пуста», на двери правой: «Принцесса
в средней комнате». Известно, что надпись на двери комнаты,
где сидит принцесса, истинна, надпись на двери комнаты, где
сидит тигр — ложна, а надпись на двери пустой комнаты может
быть как истинной, так и ложной. Где сидит принцесса,
а где — тигр?
|
318.
|
Разрежьте изображённую на
рисунке фигуру на а) четыре;
б) пять одинаковых частей.
(Резать можно не только по сторонам и диагоналям
клеток.)
|
319.
| Представьте число 203 в виде суммы
нескольких натуральных чисел, произведение которых тоже
равно 203.
|
320.
|
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать
из набора 1, 2,..., 1963, чтобы сумма любых двух выбранных
чисел делилась на 26?
|